[论文解读] A tensor interpretation of the 2D Dirac equation

Dmitri Vassiliev|ArXiv.org|Jun 17, 2000

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于张量的二维狄拉克方程的重表述，采用带有挠率的闵考斯基四维时空，将电子与正电子解释为一个扰动麦克斯韦方程的不同解。通过引入与电磁势对偶的挠率张量，并定义一个规范不变的实标量电荷，该模型消除了对“负频率”态的需求，并通过其与电磁场的相互作用来区分粒子。

ABSTRACT

We consider the Dirac equation in flat Minkowski 3-space and rewrite it as the Maxwell equation in Minkowski 4-space with torsion. The torsion tensor is defined as the dual of the electromagnetic vector potential. Our model clearly distinguishes the electron and the positron without resorting to "negative frequencies": we produce a real scalar invariant (charge) which indicates whether we are looking at an electron or a positron. Another interesting feature of our model is that the free electron and positron are identified with gradient type solutions of the standard (torsion free) Maxwell equation; such solutions have traditionally been disregarded on the grounds of gauge invariance.

研究动机与目标

• 提供一种基于张量的二维狄拉克方程解释，以避免量子场论中传统的“负频率”问题。
• 在不依赖旋量分量的复共轭或符号翻转的情况下，区分电子与正电子。
• 将狄拉克方程重新表述为带有挠率的四维闵考斯基时空中的极化麦克斯韦方程的扰动形式。
• 引入一个实标量不变量（电荷），根据其与电磁场的相互作用来分类解为电子或正电子。
• 表明自由电子与正电子态对应于无挠率麦克斯韦方程的梯度型解，这些解此前因规范不变性而被舍弃。

提出的方法

• 将二维狄拉克方程重写为带有挠率的四维闵考斯基时空中的扰动麦克斯韦方程，其中挠率张量被定义为电磁矢量势的霍奇对偶：$ T = *A $。
• 采用类似双旋量的结构，形式为反对称张量场 $ u $ 和 $ v $，其中 $ v $ 表示电子/正电子，$ u $ 表示相关光子。
• 通过在 $ x^3 $-坐标上紧化来引入电子质量，将其建模为该额外空间维上的周期性振荡。
• 通过物理假设定义物理解类：仅当波矢与 $ u $ 相同时的平面波解才具有物理意义。
• 通过 $ \mathbf{c} := -\text{sgn}\left(i*\left(du \wedge \overline{{\mathcal{R}}du}\right)\right) $ 构造一个实标量电荷不变量，其中 $ \mathcal{R} $ 是反射算符。
• 通过定理1建立张量模型与二维狄拉克方程之间的等价性，表明在特定条件下张量模型的解满足狄拉克方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖旋量形式体系的前提下，将二维狄拉克方程在四维闵考斯基时空中重表述为张量方程？
• RQ2 如何在几何且规范不变的前提下区分电子与正电子，而无需引入负频率态？
• RQ3 挠率在几何框架中统一描述光子与有质量费米子方面起到什么作用？
• RQ4 能否定义一个实标量不变量（电荷），使其以洛伦兹不变且规范不变的方式区分电子与正电子解？
• RQ5 尽管因规范不变性而被先前舍弃，自由电子与正电子态是否自然地可被描述为麦克斯韦方程的梯度型解？

主要发现

• 数学上证明了二维狄拉克方程等价于带有挠率的四维闵考斯基空间中的扰动麦克斯韦方程，其中挠率定义为 $ T = *A $。
• 该模型成功通过实标量电荷 $ \mathbf{c} $ 区分电子与正电子，其中 $ \mathbf{c} = -1 $ 对应电子，$ \mathbf{c} = +1 $ 对应正电子。
• 自由电子与正电子态被识别为无挠率麦克斯韦方程的梯度型解，这些解通常因规范不变性而被舍弃，但在本模型中具有物理意义。
• 电荷不变量 $ \mathbf{c} $ 是洛伦兹不变的且与规范选择无关，使其成为一个稳健的物理可观测量。
• 该模型通过将粒子-反粒子区分编码于电磁场结构及其与挠率张量的相互作用中，避免了“负频率”问题。
• 定理1严格证明了张量模型与二维狄拉克方程之间的等价性，建立了两种表述之间的几何对应关系。