[论文解读] A tensor product of representations of UHF algebras arising from Kronecker products

Katsunori Kawamura|ArXiv.org|Oct 8, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过矩阵的Kronecker积，引入了UHF代数表示的非对称张量积，建立了由乘积态诱导的GNS表示的张量积公式。主要贡献在于通过构造显式的酉等价关系，并利用态范数和GNS表示的不相交性，证明了即使对于不可约表示，所得张量积仍为非交换的。

ABSTRACT

We introduce a non-symmetric tensor product of representations of UHF algebras by using Kronecker products of matrices. We prove tensor product formulae of GNS representations by product states and show examples.

研究动机与目标

• 为缺乏已知共乘法的UHF代数发展一种非对称表示张量积。
• 将先前用于Cuntz代数和Cuntz-Krieger代数的基于Kronecker积的张量积框架扩展至UHF代数。
• 推导出与UHF代数上乘积态相关的GNS表示的显式张量积公式。
• 通过构造交换张量积产生酉不等价表示的例子，证明张量积的非交换性。

提出的方法

• 通过$\mathbf{N}_{\geq 2}^\infty$中序列关联的UHF代数之间的同构族，利用矩阵代数的Kronecker积定义张量积。
• 在UHF代数$\mathcal{A}(\mathbf{a})$上构造一个乘积态$\omega_{\mathbf{T}}$，作为有限维矩阵代数$M_{a_n}$上态的无限张量积。
• 每个乘积态$\omega_{\mathbf{T}}$关联一个GNS表示$\pi_{\mathbf{T}}$，张量积$\pi_{\mathbf{T}} \otimes_\varphi \pi_{\mathbf{R}}$通过$\mathcal{A}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$与$\mathcal{A}(\mathbf{a}) \otimes \mathcal{A}(\mathbf{b})$之间的特定$\varphi$-同构定义。
• 该构造依赖于密度矩阵$T^{(n)} \boxtimes R^{(n)}$的Kronecker积，以定义张量代数上的态。
• 通过酉算子$U^{(\mathbf{T},\mathbf{R})}$建立构造表示$\pi_{\mathbf{T} \boxtimes \mathbf{R}}$与张量积$\pi_{\mathbf{T}} \otimes_\varphi \pi_{\mathbf{R}}$之间的酉等价性。
• 通过证明$\|\omega \otimes_\varphi \omega' - \omega' \otimes_\varphi \omega\| = 2$，证明了非交换性，从而表明GNS表示不相交。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管缺乏共乘法，是否可以为UHF代数定义非对称表示张量积？
• RQ2 与乘积态相关的GNS表示在张量积运算下如何表现？
• RQ3 UHF代数的GNS表示的张量积是否为交换的？
• RQ4 是否可以利用矩阵态的Kronecker积推导出显式张量积公式？
• RQ5 在此张量积下，不可约表示的酉等价类构成的半群的结构是什么？

主要发现

• 通过$\varphi$-同构得到的GNS表示$\pi_{\mathbf{T}}$与$\pi_{\mathbf{R}}$的张量积，与通过态的Kronecker积构造的表示$\pi_{\mathbf{T} \boxtimes \mathbf{R}}$酉等价。
• 张量积$\otimes_\varphi$是非交换的：对于某些纯乘积态，有$[\pi_{\mathbf{T}}] \otimes_\varphi [\pi_{\mathbf{R}}] \neq [\pi_{\mathbf{R}}] \otimes_\varphi [\pi_{\mathbf{T}}]$。
• 当$\mathbf{a} = \mathbf{b} = (2,2,\ldots)$，$T = \mathrm{diag}(1,0)$，$R = \mathrm{diag}(0,1)$时，范数差$\|\omega \otimes_\varphi \omega' - \omega' \otimes_\varphi \omega\| = 2$，意味着GNS表示不相交。
• 当$\mathbf{T}(J)$对应于纯乘积态时，$J \in \{1,\ldots,n\}^\infty$的GNS表示$\pi_{\mathbf{T}(J)}$是不可约的。
• 酉等价类的不可约表示半群$\mathcal{P} = \bigcup_{n \geq 2} \{P_n[J] : J \in \{1,\ldots,n\}^\infty\}$在$\otimes_\varphi$下封闭，且满足$P_n[J] \otimes_\varphi P_m[K] = P_{nm}[J \cdot K]$。
• 该构造推广了Cuntz代数的置换表示在保规范UHF子代数上的限制，将其识别为UHF代数表示理论中的“原子”。