[论文解读] A tensor version of the quantum Wielandt theorem

Mateusz Michałek, Tim Seynnaeve+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文为投影纠缠对态（PEPS）建立了张量版本的量子Wielandt定理，证明了在二维及以上维度的张量网络中，可缩放性（injectivity）具有有限的阻塞（blocking）定义。通过代数几何中的非构造性诺特性论证，证明了存在一个有限的网格尺寸，可保证可缩放性，从而解决了量子多体物理与张量网络领域长期存在的开放性问题。

ABSTRACT

We prove boundedness results for the injectivity regions for PEPS. Our result is a higher-dimensional generalization of the quantum Wielandt inequality.

研究动机与目标

• 解决长期以来关于在二维或以上维度中，投影纠缠对态（PEPS）是否存在类似量子Wielandt定理的开放性问题。
• 确立PEPS中可缩放性的良好定义性，即存在一个有限的阻塞尺寸，使得虚拟到物理的映射在此之后变为单射。
• 将此前仅在一维矩阵乘积态（MPS）中已知的量子Wielandt不等式推广至高维张量网络。
• 利用代数几何工具，特别是希尔伯特基定理和扎里斯基闭集，提供可缩放性区域有界的非构造性证明。
• 证明每个可缩放PEPS存在有限支持的母哈密顿量在数学上是合理的。

提出的方法

• 采用基于网格的框架，在具有虚拟和物理指标的n维格点上建模PEPS。
• 将可缩放区域定义为虚拟指标到物理指标张量收缩映射为单射的网格。
• 应用希尔伯特基定理，证明非可缩放配置的集合在参数空间中构成扎里斯基闭集。
• 利用可缩放性的秩条件等价于某些子式消失（多项式条件）的事实，使非可缩放张量的集合成为代数集。
• 对逐渐增大的网格使用递减链论证，由于诺特性，证明非可缩放集合的链会稳定。
• 将结果重新表述为：存在一个有限的网格集合，使得任意可缩放PEPS在这些网格中的至少一个上变为可缩放，且该结果与物理维度d无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维或以上维度中，投影纠缠对态（PEPS）是否存在类似量子Wielandt的定理？
• RQ2 可缩放性的概念在PEPS中是否良好定义，即是否存在一个有限的阻塞尺寸，使得在此之后可缩放性被保证？
• RQ3 能否利用代数几取证得每个可缩放PEPS存在有限支持母哈密顿量的存在性？
• RQ4 参数空间中非可缩放PEPS配置的集合具有何种结构？
• RQ5 能否使用所提出的框架算法性地判断PEPS的可缩放性？

主要发现

• 本文证明，对于任意n维PEPS，其张量维数为D，物理维数为d，存在一个有限的网格尺寸，使得可缩放性成立当且仅当张量网络在有限多个固定网格形状中的某一个上变为可缩放。
• 此类有限阻塞尺寸的存在性由多项式环的诺特性保证，通过希尔伯特基定理应用于非可缩放配置的代数簇。
• 对网格尺寸的界是非构造性的，即未计算出确切尺寸，但通过代数几何证明了其存在性。
• 该结果将量子Wielandt定理从矩阵乘积态（MPS）推广至高维张量网络（PEPS），将可缩放性结果扩展至二维及更高维。
• 该证明意味着PEPS的可缩放性可被算法性地判定，因为非可缩放张量的集合是扎里斯基闭集，因此可通过多项式理想成员关系判定。
• 该结果在所有物理维度d上统一成立，有限网格集合仅依赖于n和D，而不依赖于d。