[论文解读] A test for the equality of covariance operators

Graciela Boente, Daniela Rodríguez+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2014

Statistical Methods and Inference被引用 2

一句话总结

该论文提出了一种基于希尔伯特-施密特范数的似然比检验，用于评估多个功能数据总体之间协方差算子的相等性。由于原假设分布难以处理，该方法采用自展法校准的临界值，在小样本情况下通过蒙特卡洛模拟展现出优异性能。

ABSTRACT

In many situations, when dealing with several populations, equality of the covariance operators is assumed. An important issue is to study if this assumption holds before making other inferences. In this paper, we develop a test for comparing covariance operators of several functional data samples. The proposed test is based on the Hilbert--Schmidt norm of the difference between estimated covariance operators. In particular, when dealing with two populations, the tests statistic is just the squared norm of the difference between the two covariance operators estimators. The asymptotic behaviour of the test statistic under the null and under local alternatives is obtained. Since the statistic null asymptotic distribution does not allow to obtain easily its quantiles, a bootstrap procedure to compute the critical values is considered. The performance of the test statistics for small sample sizes is illustrated through a Monte Carlo study.

研究动机与目标

• 解决功能数据分析中协方差算子相等性统计检验的迫切需求。
• 开发一种在功能数据设置中常见的小样本量下依然稳健且有效的检验方法。
• 提供一种在多个总体之间比较协方差算子的计算可行方法。
• 在原假设和局部备择假设下，为检验统计量建立渐近理论。
• 由于原假设分布难以解析求解，通过推导基于自展法的临界值，实现实际推断。

提出的方法

• 检验统计量定义为估计协方差算子之间差异的平方希尔伯特-施密特范数。
• 对于两个总体，检验统计量简化为两个样本协方差算子估计量之间差异的平方范数。
• 在原假设和局部备择假设下，推导了检验统计量的渐近分布。
• 采用非参数自展程序近似临界值，因为原假设分布无法得到闭式分位数。
• 通过广泛的蒙特卡洛模拟实现并评估该方法，以评估其在小样本中的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种检验方法，用以判断多个功能数据样本的协方差算子是否相等？
• RQ2 在协方差算子相等的原假设下，检验统计量的渐近行为如何？
• RQ3 在局部备择假设下，检验统计量的渐近行为如何？
• RQ4 当原假设分布在解析上难以处理时，自展方法能否可靠地近似临界值？
• RQ5 该检验在典型的功能数据应用中常见的小样本量下的表现如何？

主要发现

• 推导了检验统计量在原假设下的渐近分布，为该检验提供了理论依据。
• 在局部备择假设下，检验统计量表现出非中心渐近行为，支持功效分析。
• 检验统计量的原假设分布无法直接计算分位数，因此必须依赖自展法校准。
• 蒙特卡洛模拟结果表明，该检验在保持适当尺寸的同时，在小样本中也表现出良好的功效。
• 自展程序能有效近似临界值，确保在有限样本中实现有效推断。