[论文解读] A test of goodness-of-fit for the copula densities

Ghislaine Gayraud, Karine Tribouley|ArXiv.org|Feb 27, 2009

Statistical Methods and Inference参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于无平滑性检验统计量的自适应拟合优度检验，用于对齐密度，即使真实齐密度属于贝索夫球时，该检验在 $L_2$-范数分离下仍能达到极小极大检验速率。该方法可自适应未知平滑性，且在极小极大速率中仅损失 $\log\log n$ 项，理论分析提供了上下界保证，并通过模拟和真实数据验证了其性能。

ABSTRACT

We consider the problem of testing hypotheses on the copula density from $n$ bi-dimensional observations. We wish to test the null hypothesis characterized by a parametric class against a composite nonparametric alternative. Each density under the alternative is separated in the $L_2$-norm from any density lying in the null hypothesis. The copula densities under consideration are supposed to belong to a range of Besov balls. According to the minimax approach, the testing problem is solved in an adaptive framework: it leads to a $\log\log$ term loss in the minimax rate of testing in comparison with the non-adaptive case. A smoothness-free test statistic that achieves the minimax rate is proposed. The lower bound is also proved. Besides, the empirical performance of the test procedure is demonstrated with both simulated and real data.

研究动机与目标

• 开发在未知平滑性下对齐密度的极小极大最优拟合优度检验。
• 解决在未知正则性条件下，对参数零假设与非参数复合对立假设进行检验的挑战。
• 建立一个考虑 $L_2$-范数下零假设与对立假设密度之间最坏情况分离距离的极小极大检验速率。
• 提出一种可自适应未知平滑性、无需先验已知贝索夫球参数的检验统计量。
• 通过模拟和真实数据的实证研究验证理论性能。

提出的方法

• 在极小极大框架下构建检验问题，将对立假设定义为在 $L_2$-范数下与零假设至少分离 $v_n$ 的所有密度。
• 使用基于小波的非参数齐密度估计方法构造一种无平滑性且可自适应的检验统计量。
• 应用检验的极小极大理论（Ingster, 1982）推导对立假设的最优分离速率 $v_n$。
• 通过检验风险准则建立极小极大速率的下界，证明任何检验都无法实现优于 $v_n$ 的分离速率。
• 通过基于经验齐密度小波系数构造的检验统计量推导上界，确保其在 $\log\log n$ 因子内达到极小极大速率。
• 利用集中不等式和小波投影的矩界控制零假设与对立假设下检验统计量的方差与偏差。

实验结果

研究问题

• RQ1 当真实密度属于未知平滑性的贝索夫球时，齐密度拟合优度检验的最优检验速率是什么？
• RQ2 能否构造一种可自适应未知平滑性并达到极小极大检验速率的检验统计量？
• RQ3 在 $L_2$-范数下，零假设与对立假设之间的最小分离距离 $v_n$ 是多少，使得检验仍可行？
• RQ4 未知平滑性的存在如何影响极小极大速率？在自适应检验中是否可避免 $\log\log n$-项损失？
• RQ5 与现有方法相比，所提出的检验在有限样本中的实际表现如何？

主要发现

• 在 $L_2$-范数下，齐密度的极小极大检验速率被刻画，与非自适应情形相比，自适应情形中存在 $\log\log n$-项损失。
• 基于经验齐密度小波系数的无平滑性检验统计量，在 $\log\log n$ 因子内达到极小极大速率。
• 通过检验风险准则证明了极小极大速率的下界，表明任何检验都无法实现快于所推导出的 $v_n$ 的分离速率。
• 通过构造一种在对立类上统一控制第一类与第二类错误的检验，建立了上界。
• 模拟和真实数据的实证结果证实了该检验在有限样本中的稳健性与良好性能。
• 该方法在齐密度属于贝索夫球的假设下成立，可适用于广泛的平滑性水平。