[论文解读] A theorem about relative entropy of quantum states with an application to privacy in quantum communication

Rahul Jain, Jaikumar Radhakrishnan+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 29被引用 14

一句话总结

本文證明了一個量子次狀態定理：若兩個量子態 ρ 和 σ 之間的相對熵很小（S(ρ‖σ) = c），則存在一個與 ρ 近似的態 ρ′（在跡距離上 ≤ ε），使得 ρ′ / 2^{O(c/ε²)} ≤ σ。此結果在量子通訊中實現了隱私的權衡：對於集合成員問題，若鮑勃僅揭露 k 個位元的資訊，則愛麗絲必須至少揭露 n / 2^{O(k)} 個位元，從而確立了量子協定中資訊外洩的根本限制。

ABSTRACT

We prove the following theorem about relative entropy of quantum states. "Substate theorem: Let rho and sigma be quantum states in the same Hilbert space with relative entropy S(rho|sigma) = Tr rho (log rho - log sigma) = c. Then for all epsilon > 0, there is a state rho' such that the trace distance ||rho' - rho||_t = Tr sqrt{(rho' - rho)^2} <= epsilon, and rho'/2^{O(c/epsilon^2)} <= sigma." It states that if the relative entropy of rho and sigma is small, then there is a state rho' close to rho, i.e. with small trace distance ||rho' - rho||_t, that when scaled down by a factor 2^{O(c)} `sits inside', or becomes a `substate' of, sigma. This result has several applications in quantum communication complexity and cryptography. Using the substate theorem, we derive a privacy trade-off for the set membership problem in the two-party quantum communication model. Here Alice is given a subset A of [n], Bob an input i in [n], and they need to determine if i in A. "Privacy trade-off for set membership: In any two-party quantum communication protocol for the set membership problem, if Bob reveals only k bits of information about his input, then Alice must reveal at least n/2^{O(k)} bits of information about her input." We also discuss relationships between various information theoretic quantities that arise naturally in the context of the substate theorem.

研究动机与目标

• 建立關於量子態相對熵的根本定理，顯示小相對熵會導致存在一個與參考態相近的次狀態。
• 將此定理應用於分析雙方量子通訊協定中的隱私權衡，特別是針對集合成員問題。
• 推導資訊外洩的定量界，顯示一方通訊量受限制時，會迫使另一方揭露大量資訊。
• 透過比較經典與量子資訊理論中次狀態定理的行為，橋接兩者差異，強調其收斂速率的不同。

提出的方法

• 使用觀測分歧與純化技術證明量子次狀態定理，顯示當 S(ρ‖σ) = c 時，可建構一個與 ρ 近似的態 ρ′，使得 ρ′ / 2^{O(c/ε²)} ≤ σ。
• 使用提升技術將密度矩陣擴展至更大的希爾伯特空間，進而能應用已知的觀測分歧界。
• 透過純化與混合態標準純化構造，結合跡距離界，達成所需的次狀態性質。
• 利用量子聖諾夫定理的變體與跡距離不等式，以 ε 和 c 表示 ρ′ 與 ρ 的接近程度。
• 使用回合消除論證與共用 randomness，將多回合協定模擬為成功率有界的單回合協定，進而實現資訊理論分析。
• 透過將通訊成本與資訊外洩關聯，利用次狀態定理界 bounded 愛麗絲在鮑勃揭露 k 個位元時必須揭露的資訊量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否對相對熵相對 σ 較小的量子態 ρ，以另一個態 ρ′ 近似，使得 ρ′ 經縮放 2^{O(c/ε²)} 後能嵌入 σ？
• RQ2 在雙方量子協定中，針對集合成員問題，通訊與隱私之間的權衡為何？
• RQ3 量子次狀態定理與其經典對應物在收斂速率與資訊理論含義上有何差異？
• RQ4 量子次狀態定理中對 ε 的依賴能否改善至與經典的 O(1/r) 速率一致，而非目前的 O(1/√r)？
• RQ5 是否存在一種替代證明方式，可避免使用觀測分歧提升技術？

主要发现

• 量子次狀態定理顯示，對於任意 ε > 0，若 S(ρ‖σ) = c，則存在一態 ρ′，其與 ρ 的跡距離 ≤ ε，且滿足 ρ′ / 2^{O(c/ε²)} ≤ σ。
• 針對集合成員問題，若鮑勃僅揭露 k 個位元的資訊，則愛麗絲必須至少揭露 n / 2^{O(k)} 個位元的資訊，確立了強烈的隱私權衡。
• 量子次狀態定理中對 ε 的依賴為 O(1/√r)，弱於經典的 O(1/r)，暗示收斂速度可能存在差距。
• 證明過程使用純化與觀測分歧提升技術，將態擴展至更大的希爾伯特空間，並在擴展系統中推導相對熵的界。
• 次狀態定理暗示，σ 可在許多量子資訊任務中以機率 2^{-O(c)} '偽裝' 為 ρ，為相對熵提供了新的操作性解釋。
• 此結果在經典情形下可導出類似反向陳述，但由於對 ε 的依賴非最佳，此類反向陳述在量子設定中仍為開放問題。