[论文解读] A theoretical one-dimensional model for variable-density Rayleigh-Taylor turbulence

Chian Yeh Goh, Guillaume Blanquart|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2026

Combustion and flame dynamics被引用 0

一句话总结

该论文重新审视了可变密度Rayleigh–Taylor湍流的Belen’kii–Fradkin湍流扩散模型，给出完整与简化的自相似常微分方程，建立自相似性与物理空间的对应，与DNS/实验结果比较，并确认 h ~ (ln R) g t^2 的标度，在质量守恒修正后与数据的吻合度有所提升。

ABSTRACT

In an early theoretical work published in 1965, Belen'kii & Fradkin proposed a turbulent diffusivity model for Rayleigh--Taylor (RT) mixing. We review its derivation and present alternative arguments leading to the same final similarity equation. The original work then introduced an approximation that led to a simplified ordinary differential equation (ODE), which was used primarily to derive the important scaling result, $h \sim (\ln R)gt^2$. Here, we extend the analysis by examining the solutions to both the full similarity ODE and the simplified ODE in detail. It is shown that the full similarity equation captures many now well-known features of non-Boussinesq RT flows, including asymmetric spike and bubble growth and a systematic shift of velocity statistics toward the light-fluid side. Comparisons of the theoretical model with numerical and experimental studies show reasonable agreement in both spatial profiles and growth trends of mixing layer heights. We further show that a global mass correction applied to the simplified solution closely approximates the full solution, highlighting that, to leading order, RT mixing is governed by the competing dynamics between diffusion of $\ln \barρ$ and mass conservation.

研究动机与目标

• 澄清并简化用于典型RT且背景静止的Belen’kii–Fradkin湍流扩散框架。
• 推导并分析1D VD RT湍流中密度平均的完整与简化自相似ODE。
• 将相似变量映射到物理空间量，连接理论与RT数据。
• 研究混合层高度的标度及在非Boussinesq条件下尖峰/气泡的增长。
• 在DNS和实验观测中验证模型，并讨论其在不同Atwood数下的适用性。

提出的方法

• 采用基于Prandtl混合长度的湍扩散率，D_t^* ∼ v_t h_t，并通过局部能量关系将v_t与h_t联系，得到 D_t^* = K ( (1/ρ̄) ∂ρ̄/∂y )^{1/2} g^{1/2} h_t^2。
• 将三维RANS RT方程化简为在高Pe下的1D扩散问题：∂ρ̄/∂t = ∂/∂y ( D_t ∂ρ̄/∂y )。
• 推导自相似方程：∂φ/∂τ = ∂/∂ξ [ φ^{-1/2} (∂φ/∂ξ)^{3/2} ]，并尝试求解 φ(η)，其中 η = ξ/(a τ^{2/5})。
• 转化到物理空间以将无量纲高度 λ_i 与实际高度 h_i 联系起来：h_i(t) = K^2 λ_i λ_t^4 g t^2，重新得到 h ~ g t^2 的标度，并考虑密度比因子。
• 给出对于小 Δρ/ρ_L（小 R-1）的解析解，得到 h_T ∝ ln R，并比较完整与简化ODE解，以及引入质量校正以强制全局质量守恒的效果。

Figure 1: Solutions to full and simplified ODEs. (a,b) Full ODE: dimensionless diffusivity $x=(\varphi^{\prime}/\varphi)^{1/2}$ and density $\varphi$ ; (c,d) simplified ODE: dimensionless diffusivity $\hat{x}$ and density $\hat{\varphi}$ . Legend: $A=$ 0.01 (black solid), 0.2 (blue dashed), 0.5 (gre

实验结果

研究问题

• RQ1 完整与简化的相似ODE是否对混合层高度与密度轮廓在不同Atwood数下给出一致的预测？
• RQ2 1D湍扩散模型是否能再现RT的关键特征：尖峰/气泡不对称、速度剖面的向轻密度流偏移，以及高度的 ln R 标度？
• RQ3 物理空间映射（高度、密度、扩散率）与相似变量之间的关系，以及质量守恒对简化解的影响？
• RQ4 在哪个Atwood数(R)范围内 ln R 标度稳健可观，预测与DNS/实验相比如何？
• RQ5 质量校正后的简化解在多大程度上再现完整ODE的结果？

主要发现

• 完整的ODE捕捉到非Boussinesq RT的特征：尖峰/气泡不对称、速度向轻密度流偏移，以及当适当表达时的密度轮廓塌缩。
• 高度与 h_i ∝ λ_i λ_t^4 g t^2 的标度，将Atwood数对物理量的影响与无量纲因子联系起来。
• 解析性的小-R结果得到 h_T ∝ ln R，与早期的Belen’kii–Fradkin发现及近期RT数据一致。
• 对简化ODE进行质量校正可恢复与完整ODE及DNS的一致性，凸显质量守恒的关键作用。
• 归一化扩散率 x 与密度 φ 的剖面显示质量随Atwood数增加向轻密度流位移的趋势，与DNS趋势相符。
• 在较高Atwood数下，尖峰高度偏离 g t^2 的标度程度比气泡更大，与RT观测一致。
• 模型对尖峰/气泡增长速率及其比值 α_s/α_b 的预测落在实验与DNS报道的数值区间内。

Figure 2: Normalized solution to the full ODE: (a) normalized diffusivity $x/2\lambda_{T}^{2}$ , and (b) mole fraction $X$ . Legend: $A=$ 0.01 (black solid), 0.2 (blue dashed), 0.5 (green dash-dotted), and 0.8 (red dotted).