[论文解读] A theory of characteristic currents associated with a singular connection

Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 1994

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用 64

一句话总结

本文为向量丛上的奇异联络发展了一种广义的Chern-Weil理论，从丛映射的曲率与奇点构造出$d$-闭特征电流。关键贡献是一个典范的横截电流$T$，使得$\phi(\Omega_F) - \phi(\Omega_{F,\alpha}) = dT$，其中$\phi(\Omega_{F,\alpha})$即使在映射$\alpha$奇异时也代表特征类$\phi(F)$。

ABSTRACT

This note announces a general construction of characteristic currents for singular connections on a vector bundle. It develops, in particular, a Chern-Weil-Simons theory for smooth bundle maps $α: E ightarrow F$ which, for smooth connections on $E$ and $F$, establishes formulas of the type $$ ϕ\ = \ ext{ m Res}_ϕΣ_α + dT. $$ Here $ϕ$ is a standard charactersitic form, $ ext{Res}_ϕ$ is an associated smooth ``residue'' form computed canonically in terms of curvature, $Σ_α$ is a rectifiable current depending only on the singular structure of $α$, and $T$ is a canonical, functorial transgression form with coefficients in $\loc$. The theory encompasses such classical topics as: Poincaré-Lelong Theory, Bott-Chern Theory, Chern-Weil Theory, and formulas of Hopf. Applications include:\ \ a new proof of the Riemann-Roch Theorem for vector bundles over algebraic curves, a $C^{\infty}$-generalization of the Poincaré-Lelong Formula, universal formulas for the Thom class as an equivariant characteristic form (i.e., canonical formulas for a de Rham representative of the Thom class of a bundle with connection), and a Differentiable Riemann-Roch-Grothendieck Theorem at the level of forms and currents. A variety of formulas relating geometry and characteristic classes are deduced as direct consequences of the theory.

研究动机与目标

• 将Chern-Weil理论推广至由丛映射$\alpha: E \to F$产生的奇异联络。
• 定义特征电流$\phi(\Omega_{F,\alpha})$，即使$\alpha$不是同构，也能代表$\phi(F)$。
• 构造一个典范的横截电流$T$，使得$\phi(\Omega_F) - \phi(\Omega_{F,\alpha}) = dT$，推广标准Chern-Weil理论中的横截公式。
• 推导特征形式与退化点集之间的显式公式，特别是在$\operatorname{rank}(E) \leq \operatorname{rank}(F)$时。
• 通过$L^1_{\text{loc}}$-值电流与逼近方案，统一并推广MacPherson、Riemann-Roch与几何分析的结果。

提出的方法

• 引入一种使用函数$\chi$的光滑逼近模式，以正则化丛映射$\alpha$的奇异逆$\beta$，从而在$F$上得到一族光滑联络$\overrightarrow{D}_s$。
• 将横截电流$T$定义为$\overrightarrow{D}_s$与原始联络$D_F$的特征形式之差的极限，使用公式$T = \frac{i}{2\pi} \left\{ \frac{\phi(f)-\phi(e)}{f-e} \right\} \sigma$。
• 利用Harvey与Polking的核微积分，将理论与代数曲线的Riemann-Roch定理联系起来。
• 将退化电流$\operatorname{Div}(\alpha)$构造为$d\left(\frac{1}{2\pi i} \frac{da}{a}\right)$，其中$\alpha$为原子映射，$a$是$\alpha$的局部表示。
• 将理论应用于几何情形，如复线丛、光滑映射的微分以及向量丛上的复结构，推导涉及Milnor电流与CR临界集的公式。
• 通过逼近$\overrightarrow{D}_s$建立一参数族公式，特征形式在$s \to 0$时收敛于退化电流。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Chern-Weil理论推广至由丛映射$\alpha: E \to F$产生的奇异联络？
• RQ2 当$\alpha$奇异时，如何构造一个代表$\phi(F)$的特征电流$\phi(\Omega_{F,\alpha})$的典范形式？
• RQ3 横截电流$T$如何将原始联络的曲率与奇异修正后的曲率联系起来？
• RQ4 在公式$\phi(\Omega_F) - \phi(\Omega_{F,\alpha}) = \operatorname{Res}_\phi[\Sigma] + dT$中，余项形式$\operatorname{Res}_\phi$的精确几何意义是什么？
• RQ5 这些公式如何推广经典结果，如Poincaré-Lelong公式与Riemann-Roch定理？

主要发现

• 对于任意复线丛的原子丛映射$\alpha: E \to F$，存在一个$L^1_{\text{loc}}$-形式$T$，使得$\phi(f) - \phi(e) = \left\{ \frac{\phi(f)-\phi(e)}{f-e} \right\} \operatorname{Div}(\alpha) + dT$，且显式公式为$T = \frac{i}{2\pi} \left\{ \frac{\phi(f)-\phi(e)}{f-e} \right\} \sigma$。
• 当$\alpha$为线丛的非退化截面时，该公式在$C^\infty$形式下恢复了经典的Poincaré-Lelong公式，其中$\operatorname{Div}(\alpha)$在de Rham上同调中表示$c_1(F) - c_1(E)$。
• 对于映射$\alpha: \underline{\mathbb{C}}^{k+1} \to F$，其中包含$k$个原子截面，最高阶退化电流$\mathbb{D}_k(\alpha)$满足$c_{n-k}(\Omega_F) - \mathbb{D}_k(\alpha) = dT$，其中$T$为$L^1_{\text{loc}}$-形式。
• 在两个定向4-流形之间的光滑映射$f: X \to Y$的情形下，公式将$f^*p_1(Y) - p_1(X)$与秩为2的孤立奇点处的加权和联系起来，该和由支撑在奇点集上的电流表示。
• 对于从$n$-流形$M$到$\mathbb{C}^{k+1}$的映射$f$，当$n-k=2\ell$时，$\ell$-阶Pontrjagin形式满足$p_\ell(\Omega_M) = (-1)^\ell \mathbb{Cr}(f) + dT$，其中$\mathbb{Cr}(f)$为复切线的电流。
• 对于丛$E$上的两个几乎复结构$J_1, J_2$，电流$\mathbb{Cr}(J_1, J_2) = \operatorname{Div}(\lambda)$，其中$\lambda = \Lambda^n_{\mathbb{C}} p$，表示$J_1 + J_2$具有非平凡核的点集，且满足$\phi(e_2) - \phi(e_1) = \frac{\phi(e_2)-\phi(e_1)}{e_2-e_1} \mathbb{Cr}(J_1,J_2) + d\sigma_\phi$。