[论文解读] A theory of generalized Donaldson-Thomas invariants. I. An invariant counting stable pairs

Dominic Joyce, Yinan Song|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文引入了广义唐纳森-托马斯不变量，记为 $¯{DT}^a(t)$，作为有理数取值的不变量，用于计数卡拉比-丘3-fold上的稳定对，将经典DT不变量推广至所有陈特征类，即使存在严格半稳定的层也适用。利用相干层模堆栈的局部临界结构，作者建立了一套变形不变的理论，并给出了稳定性条件改变时的已知变换律，从而推广了经典不变量，并与非交换DT理论建立了联系。

ABSTRACT

Let X be a Calabi-Yau 3-fold over C. The Donaldson-Thomas of X are integers DT^a(t) which count stable sheaves with Chern character a on X, with respect to a Gieseker stability condition t. They are defined only for Chern characters a for which there are no strictly semistable sheaves on X. They have the good property that they are unchanged under deformations of X. Their behaviour under change of stability condition t was not understood until now. This book defines and studies a generalization of Donaldson-Thomas invariants. Our new \bar{DT}^a(t) are rational numbers, defined for all Chern characters a, and are equal to DT^a(t) if there are no strictly semistable sheaves in class a. They are deformation-invariant, and have a known transformation law under change of stability condition. To prove all this we study the local structure of the moduli stack M of coherent sheaves on X. We show that an atlas for M may be written locally as Crit(f) for f a holomorphic function on a complex manifold, and use this to deduce identities on the Behrend function of M. We compute our in examples, and make a conjecture about their integrality properties. We extend the theory to abelian categories of representations of a quiver with relations coming from a superpotential, and connect our ideas with Szendroi's noncommutative Donaldson-Thomas invariants and work by Reineke and others. This book is surveyed in the paper arXiv:0910.0105.

研究动机与目标

• 定义一个变形不变的不变量，将经典唐纳森-托马斯不变量推广至所有陈特征类，包括存在严格半稳定层的情形。
• 解决DT不变量在稳定性条件改变时缺乏不变性与变换律的问题。
• 建立卡拉比-丘3- fold 上相干层模堆栈的局部临界结构，以实现广义不变量的构造。
• 通过奎瓦表示与超势能，将广义不变量与非交换DT理论相联系。
• 对新不变量提出整性猜想，并在具体例子中加以验证。

提出的方法

• 将卡拉比-丘3- fold 上相干层模堆栈 M 的局部局部图构造为复流形上全纯函数 f 的临界点集。
• 利用局部临界结构推导出 M 上贝雷德函数的恒等式，这些恒等式对定义广义不变量至关重要。
• 通过涉及贝雷德函数的加权欧拉示性数，将广义DT不变量 $¯{DT}^a(t)$ 定义为有理数。
• 证明 $¯{DT}^a(t)$ 是变形不变的，并在稳定性条件改变时满足已知的变换律。
• 将该框架推广至由超势能导出关系的奎瓦表示的阿贝尔范畴，与森德罗的非交换DT不变量建立联系。
• 在具体例子中验证理论，并提出关于广义不变量整性的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将唐纳森-托马斯不变量推广至所有陈特征类，包括存在严格半稳定层的情形？
• RQ2 DT不变量在稳定性条件改变时的行为如何？能否用变换律来描述？
• RQ3 卡拉比-丘3- fold 上相干层模堆栈能否被局部描述为全纯函数的临界点集？
• RQ4 广义不变量与奎瓦设定下的非交换唐纳森-托马斯不变量有何关系？
• RQ5 广义不变量满足哪些整性性质？能否基于几何与范畴结构提出猜想？

主要发现

• 广义不变量 $¯{DT}^a(t)$ 是对所有陈特征类 a 定义的有理数，即使存在严格半稳定层也适用。
• 当在类 a 中不存在严格半稳定层时，$¯{DT}^a(t)$ 与经典DT不变量 DT^a(t) 一致。
• 不变量 $¯{DT}^a(t)$ 是变形不变的，其值在卡拉比-丘3- fold 的形变下保持不变。
• 建立了 $¯{DT}^a(t)$ 在稳定性条件改变时的变换律，推广了经典行为。
• 模堆栈 M 的局部结构被证明局部同构于临界点集 Crit(f)，从而可应用临界函数技术。
• 该理论被推广至具有超势能关系的奎瓦表示，与森德罗的非交换DT不变量及赖内克的工作建立了联系。