[论文解读] A Tight $(1.5+ε)$-Approximation for Unsplittable Capacitated Vehicle Routing on Trees

Claire Mathieu, Hang Zhou|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2022

Vehicle Routing Optimization Methods被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对树上无分割容量车辆路径问题的多项式时间 (1.5 + ε)-近似算法，其中终端需求为任意值且不可在不同行程间分割。通过引入带有四舍五入需求列表和相容性约束的结构化动态规划方法，作者首次在三十余年来突破了自1991年Labbe、Laporte和Mercure建立的2-近似界，且该比值因近似下限为1.5的NP难性而本质上最优。

ABSTRACT

In the unsplittable capacitated vehicle routing problem (UCVRP) on trees, we are given a rooted tree with edge weights and a subset of vertices of the tree called terminals. Each terminal is associated with a positive demand between 0 and 1. The goal is to find a minimum length collection of tours starting and ending at the root of the tree such that the demand of each terminal is covered by a single tour (i.e., the demand cannot be split), and the total demand of the terminals in each tour does not exceed the capacity of 1. For the special case when all terminals have equal demands, a long line of research culminated in a quasi-polynomial time approximation scheme [Jayaprakash and Salavatipour, TALG 2023] and a polynomial time approximation scheme [Mathieu and Zhou, TALG 2023]. In this work, we study the general case when the terminals have arbitrary demands. Our main contribution is a polynomial time (1.5+ε)-approximation algorithm for the UCVRP on trees. This is the first improvement upon the 2-approximation algorithm more than 30 years ago. Our approximation ratio is essentially best possible, since it is NP-hard to approximate the UCVRP on trees to better than a 1.5 factor.

研究动机与目标

• 为树上具有任意终端需求的无分割容量车辆路径问题设计一种多项式时间近似算法。
• 改进Labbe、Laporte和Mercure于1991年建立的长期存在的2-近似界。
• 实现一个本质上最优的近似比，鉴于树上UCVRP近似下限低于1.5因子的NP难性。
• 通过需求四舍五入和和列表技术，将等需求情形下的技术推广至一般需求情形。

提出的方法

• 算法通过预处理步骤将树转换为终端位于叶节点且边权有界的满二叉树。
• 将树分解为若干组件，每个组件包含一个根节点和至多一个出口节点，以实现计算的局部化。
• 在每个内部节点应用动态规划方法，通过四舍五入需求的和列表追踪子树配置。
• 和列表通过有限组代表性数值表示多组行程需求，确保状态空间为多项式规模。
• 和列表与需求多重集之间的相容性约束确保节点子节点间子行程组合的可行性。
• 算法枚举有限组代表性数值，并利用四舍五入控制不同需求组合的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有任意需求的树上UCVRP实现 (1.5 + ε)-近似，从而改进1991年的2-近似？
• RQ2 鉴于已知的不可近似性界，(1.5 + ε)-近似比是否本质上最优？
• RQ3 能否通过结构化近似方法将等需求情形下的技术适配至处理任意需求？
• RQ4 能否通过四舍五入限制不同需求值的数量，使动态规划在任意需求下仍高效？

主要发现

• 本文提出了一种针对树上具有任意需求的UCVRP的多项式时间 (1.5 + ε)-近似算法，优于1991年的2-近似。
• 该近似比本质上最优，因为UCVRP在树上的近似比若优于1.5因子即为NP难。
• 该算法通过使用有限组代表性需求值和和列表，控制动态规划中的状态空间规模。
• 运行时间为输入规模的多项式时间，具体为 n^Oε(1)，因其和列表与配置数量有限。
• 该方法可推广至路径上的UCVRP，得到 (1.5 + ε)-近似，同样本质上最优。
• 该方法依赖于需求四舍五入，并通过多重集划分确保子行程配置间的相容性。