[论文解读] A Tight Composition Theorem for the Randomized Query Complexity of Partial Functions

Shalev Ben-David, Göös, Mika+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用 6

一句话总结

该论文通过证明随机化组合猜想对部分函数不成立，解决了查询复杂度领域长期存在的开放问题：存在部分布尔函数族 f 和 g，使得 f∘g 的随机化查询复杂度显著小于 R(f)R(g)，甚至呈多项式关系。作者引入了一个新度量 noisyR(f)，用于刻画在噪声输入上计算 f 的最小代价，并证明了紧致的组合定理 R(f∘g) = Ω(noisyR(f) ⋅ R(g))，表明该界是最优的，且通过与间隙多数函数的组合提供了清晰的刻画。

ABSTRACT

Suppose we have randomized decision trees for an outer function f and an inner function g. The natural approach for obtaining a randomized decision tree for the composed function (f∘ gⁿ)(x¹,…,xⁿ) = f(g(x¹),…,g(xⁿ)) involves amplifying the success probability of the decision tree for g, so that a union bound can be used to bound the error probability over all the coordinates. The amplification introduces a logarithmic factor cost overhead. We study the question: When is this log factor necessary? We show that when the outer function is parity or majority, the log factor can be necessary, even for models that are more powerful than plain randomized decision trees. Our results are related to, but qualitatively strengthen in various ways, known results about decision trees with noisy inputs.

研究动机与目标

• 解决查询复杂度中的随机化组合猜想，该猜想认为对所有布尔函数 f 和 g，有 R(f∘g) = Ω(R(f)R(g))。
• 研究部分函数的组合是否能相对于个体复杂度的乘积，实现随机化查询复杂度的超多项式节省。
• 定义并刻画一种新度量 noisyR(f)，用于捕捉在噪声输入上计算 f 的代价，这对紧致组合定理至关重要。
• 通过证明任何满足 R(f∘g) = Ω(M(f)R(g)) 对所有 f,g 成立的度量 M(f) 必须满足 noisyR(f) = Ω(M(f))，从而证明组合定理 R(f∘g) = Ω(noisyR(f)R(g)) 的最优性。
• 通过与 √n-间隙多数函数的组合，提供 noisyR(f) 的清晰刻画。

提出的方法

• 引入噪声预言机模型，其中对 f 的每个查询均以真实输入的噪声版本回答，并将 noisyR(f) 定义为在此模型下的最小查询复杂度。
• 通过基于间隙多数函数的递归构造，设计特定的部分函数 f 和 g，构造出随机化组合猜想的反例，使得 R(f∘g) 相较于 R(f)R(g) 呈多项式减小。
• 利用信息论技术（特别是分布间的 Hellinger 距离与 Jensen-Shannon 距离），证明一般组合定理：R(f∘g) = Ω(noisyR(f) ⋅ R(g))。
• 通过模拟论证表明，任何 f∘g 的算法均可通过使用 f 的噪声预言机和 g 的标准预言机进行模拟，从而建立下界。
• 通过恒等式 noisyR(f) = Θ(R(f∘GapMajn)/R(GapMajn)) 对 noisyR(f) 进行刻画，其中 GapMajn 为 n 位上的 √n-间隙多数函数。
• 通过证明任何满足对所有 f,g 有 R(f∘g) = Ω(M(f)R(g)) 的度量 M(f) 必须满足 noisyR(f) = Ω(M(f))，从而确立组合定理的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机化组合猜想对部分布尔函数是否成立，即是否对所有部分 f 和 g 都有 R(f∘g) = Ω(R(f)R(g))？
• RQ2 组合函数 f∘g 的随机化查询复杂度是否能显著小于乘积 R(f)R(g)，若是，其程度如何？
• RQ3 在部分函数设定下，刻画组合函数随机化查询复杂度的正确度量是什么？
• RQ4 组合定理 R(f∘g) = Ω(noisyR(f)R(g)) 是否最优，能否证明不存在更强的度量可给出更优的组合界？
• RQ5 能否通过已知的自然函数（如间隙多数函数）对 noisyR(f) 进行刻画？

主要发现

• 随机化组合猜想不成立：存在部分布尔函数 f 和 g，使得 R(f∘g) 相较于 R(f)R(g) 呈多项式减小，即使两边在 f 的输入规模下均为多对数级别。
• 作者引入一种新度量 noisyR(f)，用于量化在噪声预言机输入上计算 f 的代价，并证明对所有 f 和 g，有 R(f∘g) = Ω(noisyR(f) ⋅ R(g))。
• 组合定理是最优的：对任意满足对所有 f,g 有 R(f∘g) = Ω(M(f)R(g)) 的度量 M(f)，必须有 noisyR(f) = Ω(M(f))，这意味着不存在更强的度量可给出更优的组合界。
• 度量 noisyR(f) 具有清晰的刻画：noisyR(f) = Θ(R(f∘GapMajn)/R(GapMajn))，其中 GapMajn 为 n 位上的 √n-间隙多数函数。
• 反例的构造依赖于基于间隙多数函数的递归自相似结构，利用了在组合设置中可高效模拟噪声输入的特性。
• 证明技术涉及信息论工具，包括 Hellinger 距离与 Jensen-Shannon 距离，以及一种新颖的模拟论证，将 f∘g 的计算归约为使用 f 的噪声预言机和 g 的标准预言机。