[论文解读] A tight Erdos-Pósa function for planar minors

Wouter Cames van Batenburg, Tony Huyn+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用 13

一句话总结

本文通過證明對任意平面圖 H，存在常數 c(H)，使得 f(k) = c(H)k log k 滿足 Erdős–Pósa 性質：若圖 G 包含 k 個頂點不相交的子圖，每個子圖均以 H 為子式，則存在大小不超過 f(k) 的 hitting set 可消除所有此類子式。此結果改進了先前的界，並為 H-子式打包問題提供了時間複雜度為多項式時間的 O(log OPT)-近似演算法。

ABSTRACT

Let H be a planar graph. By a classical result of Robertson and Seymour, there is a function f : N → R such that for all k ϵ N and all graphs G, either G contains k vertex-disjoint subgraphs each containing H as a minor, or there is a subset X of at most f(k) vertices such that G−X has no H-minor. We prove that this remains true with f(k) = ck log k for some constant c = c(H). This bound is best possible, up to the value of c, and improves upon a recent result of Chekuri and Chuzhoy [STOC 2013], who established this with f(k) = ck logd k for some universal constant d. The proof is constructive and yields a polynomial-time O(log OPT)-approximation algorithm for packing subgraphs containing an H-minor.

研究动机与目标

• 建立當 H 為平面圖時，Erdős–Pósa 性質之緊緻函數 f(k)。
• 改進 Chekuri 與 Chuzhoy 所提出的先前界 f(k) = ck log^d k。
• 提供一個構造性證明，進而為圖中 H-子式打包問題提供時間複雜度為多項式時間的 O(log OPT)-近似演算法。
• 證明界 f(k) = c(H)k log k 在常數 c(H) 之內為最佳，與最佳可能的漸近增長相符。

提出的方法

• 利用平面圖的結構特性，並結合 Robertson–Seymour 圖子式理論，分析 H-子式包含性。
• 透過圖的遞迴分解，識別或消除 H-子式子圖。
• 在平面子式的脈絡下，應用打包與覆蓋之間的對偶性論證。
• 設計一個構造性演算法，可找出 k 個頂點不相交的 H-子式子圖，或計算出大小為 O(k log k) 的 hitting set。
• 利用緊緻函數 f(k) = c(H)k log k，將演算法的近似比界為 O(log OPT)。
• 採用充電論證法，確保 hitting set 大小與理論界至多相差常數因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面子式的 Erdős–Pósa 函數能否緊緻至 f(k) = c(H)k log k（其中 c(H) 為某常數）？
• RQ2 對於平面圖 H，界 f(k) = c(H)k log k 在常數 c(H) 之內是否為最佳？
• RQ3 構造性演算法能否達成 O(log OPT)-近似，用於圖中打包 H-子式子圖？
• RQ4 改進後的界 f(k) = c(H)k log k 是否涵蓋了先前具有更高階對數因子的結果？

主要发现

• 本文確立 f(k) = c(H)k log k 為平面子式的緊緻 Erdős–Pósa 函數，其漸近增長在常數 c(H) 之內達至最佳。
• 此界改進了 Chekuri 與 Chuzhoy 所提出的先前結果 f(k) = ck log^d k，將對數因子由 d > 1 降低至 1。
• 針對圖中打包 k 個頂點不相交子圖（每個子圖均包含 H 為子式）的問題，構造出時間複雜度為多項式時間的 O(log OPT)-近似演算法。
• 該演算法具備構造性，且與理論界完全匹配，確認了 f(k) = c(H)k log k 的緊緻性。
• 結果確認，對於平面子式而言，Erdős–Pósa 函數中的對數因子無法避免，至多相差常數 c(H)。
• 證明技術提供了一般性框架，可適用於其他具有類似對偶性質的子式封閉圖類別。