[论文解读] A tight lower bound on the matching number of graphs via Laplacian eigenvalues

Xiaofeng Gu, Muhuo Liu|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2021

Graph theory and applications参考文献 28被引用 21

一句话总结

本文利用图的拉普拉斯特征值，建立了匹配数 α′ 的紧下界，证明了 α′ ≥ min{⌊(μ₂/μₙ)(n−1)/m⌋, ⌊(n−1)/(2m)⌋}，该结果推广并加强了 Brouwer 和 Haemers 的先前结果。关键创新在于运用 Haemers 的分离不等式推导出一个引理，从而实现对匹配数、因子临界性、气球图、偶数子图以及有界度生成树的紧谱界。

ABSTRACT

Let $\alpha'$ and $\mu_i$ denote the matching number of a non-empty simple graph $G$ with $n$ vertices and the $i$-th smallest eigenvalue of its Laplacian matrix, respectively. In this paper, we prove a tight lower bound $$\alpha' \ge \min\left\{\Big\lceil\frac{\mu_2}{\mu_n} (n -1)\Big ceil,\ \ \Big\lceil\frac{1}{2}(n-1)\Big ceil ight\}.$$ This bound strengthens the result of Brouwer and Haemers who proved that if $n$ is even and $2\mu_2 \ge \mu_n$, then $G$ has a perfect matching. A graph $G$ is factor-critical if for every vertex $v\in V(G)$, $G-v$ has a perfect matching. We also prove an analogue to the result of Brouwer and Haemers mentioned above by showing that if $n$ is odd and $2\mu_2 \ge \mu_n$, then $G$ is factor-critical. We use the separation inequality of Haemers to get a useful lemma, which is the key idea in the proofs. This lemma is of its own interest and has other applications. In particular, we prove similar results for the number of balloons, spanning even subgraphs, as well as spanning trees with bounded degree.

研究动机与目标

• 将 Brouwer 和 Haemers 关于完美匹配的充分条件推广为使用拉普拉斯特征值的匹配数的紧下界。
• 在 n 为奇数时，建立基于谱条件 2μ₂ ≥ μₙ 的因子临界图的谱条件。
• 将该方法扩展至其他图参数，如气球数、偶数生成子图以及最大度 ≤k 的生成树。
• 通过构造极值图，证明所导出的界是紧的。
• 开发并应用一个基于 Haemers 分离不等式的新型引理，作为谱图论中统一工具。

提出的方法

• 利用 Haemers 的分离不等式，针对无边连接的不相交顶点集 X 和 Y：|X||Y| / [(n−|X|)(n−|Y|)] ≤ [(μₙ−μ₂)/(μₙ+μ₂)]²。
• 推导关键引理：若 G−S 不连通，且 X,Y 是 V(G)−S 中的不相交子集且满足 |X|≤|Y|，则 |X| ≤ (μₙ−μ₂)/(2μₙ)·n 且 |S| ≥ (2μ₂)/(μₙ−μ₂)·|X|。
• 应用该引理证明主结果：对 n 个顶点和 m 条边的图，有 α′(G) ≥ min{⌊(μ₂/μₙ)(n−1)/m⌋, ⌊(n−1)/(2m)⌋}。
• 使用同一引理推导气球数、偶数生成子图以及最大度 ≤k 的生成树的界。
• 通过构造极值图（如完全二部图 Ks,t 和联图 Ks∨tK₁）证明界的紧性。
• 利用 Gallai 对因子临界图的刻画，证明当 n 为奇数时，2μ₂ ≥ μₙ 蕴含 G 是因子临界图。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为一般图（而不仅是正则图）利用拉普拉斯特征值建立匹配数的紧下界？
• RQ2 当 n 为奇数时，条件 2μ₂ ≥ μₙ 是否足以保证图是因子临界图？
• RQ3 基于 Haemers 分离不等式的谱界技术能否扩展至匹配数以外的其他图参数？
• RQ4 对于非正则图，匹配数的最紧可能下界在 μ₂ 和 μₙ 的表达式中是什么？
• RQ5 如何利用谱条件保证存在满足度约束的生成子图（如偶数子图、有界度生成树）？

主要发现

• 建立了匹配数的紧下界：α′(G) ≥ min{⌊(μ₂/μₙ)(n−1)/m⌋, ⌊(n−1)/(2m)⌋}，该结果推广并改进了 Brouwer 和 Haemers 的结果。
• 若 μ₂ ≥ rμₙ，则有 α′(G) ≥ r(n−1)（0 < r ≤ 1/2），且该界是紧的，由极值图 Ks,t 和 Ks∨tK₁ 所证实。
• 当 n 为奇数且 2μ₂ ≥ μₙ 时，G 是因子临界图，且该条件是紧的，由 Ks,s+1 和 Ks∨(s+1)K₁ 所证明。
• 若 μ₂ ≥ (1−r−rδ)μₙ（δ ≥2）或 μ₂ ≥ (1−3r)μₙ（δ=1），其中 r ≤ min{1/3, 1/(δ+1)}，则气球数 b(G) ≤ ⌈rn⌉。
• 若 δ ≥3 且 (δ−1)μ₂ ≥ μₙ，则存在偶数生成子图，该条件是紧的，并将谱条件扩展至非正则图。
• 若 k ≥3 且 (k−1)μ₂ ≥ μₙ，则存在最大度 ≤k 的生成树，该条件为哈密顿路径（k=2）及更广情形提供了谱充分条件。