[论文解读] A tighter bound on the number of relevant variables in a bounded degree Boolean function

Jake Wellens|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 4被引用 4

一句话总结

该论文通过优化 Chiarelli、Hatami 和 Saks 的基于 $W(f)$ 的分析，将 $d$ 次布尔函数中相关变量数的上界从 $6.614 cdot 2^d$ 改进至 $4.416 cdot 2^d$。通过针对低次函数使用有限线性规划获得更紧的阻塞敏感度界，并优化变量限制策略以减少原始论证中的松弛，实现了乘法常数 33% 的改进。

ABSTRACT

A classical theorem of Nisan and Szegedy says that a boolean function with degree $d$ as a real polynomial depends on at most $d2^{d-1}$ of its variables. In recent work by Chiarelli, Hatami and Saks, this upper bound was improved to $C \cdot 2^d$, where $C = 6.614$. Here we refine their argument to show that one may take $C = 4.416$.

研究动机与目标

• 缩小已知的 $d$ 次布尔函数中相关变量数的上界与最佳已知下界之间的差距。
• 改进有界次数布尔函数的 $O(2^d)$ junta 大小界中的乘法常数。
• 通过更紧、与次数相关的阻塞敏感度界，优化 Chiarelli、Hatami 和 Saks 的基于 $W(f)$ 的分析。
• 通过优化选择要限制的变量集，减少原始基于限制的论证中的松弛。
• 证明通过有限计算与结构优化，上界中的常数可被显著降低。

提出的方法

• 定义 $W(f) = \sum_{i \in R(f)} 2^{-\deg_i(f)}$，该度量通过 $|R(f)| \leq 2^{\deg(f)} W(f)$ 上界相关变量数。
• 使用线性规划计算所有 $d \leq 14$ 下阻塞敏感度 $\text{bs}(f)$ 的紧上界，取代最坏情况下的 $d^2$ 界。
• 构造一组不相交的全次数单项式集合 $H$ 以进行限制，确保限制后的函数次数 $\leq d-1$。
• 在限制后应用 $W(f)$ 的递归界，利用改进的 $\text{bs}(f)$ 界以限制 $W(f)$ 的损失。
• 优化 $H$ 的选择以最小化 $W(f)$ 的期望下降，利用限制高次单项式会显著降低阻塞敏感度的事实。
• 利用所得递归界计算出 $W^{*} \leq 4.4158$，从而得出最终的 $4.416 \cdot 2^d$ 个相关变量的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $d$ 次布尔函数中相关变量数的上界中的乘法常数降低至 $6.614 \cdot 2^d$ 以下？
• RQ2 Chiarelli、Hatami 和 Saks 的原始 $W(f)$-基础分析中仍存在多少松弛？能否通过更紧的阻塞敏感度界予以消除？
• RQ3 是否存在最优常数 $C$，使得任意 $d$ 次布尔函数的相关变量数至多为 $C \cdot 2^d$？
• RQ4 对低次函数进行有限线性规划在多大程度上能改进阻塞敏感度等复杂度度量的全局界？
• RQ5 是否存在结构性原因，使得 $d$ 次函数的阻塞敏感度通常远小于最坏情况下的 $d^2$ 界？

主要发现

• 该论文在任意 $d$ 次布尔函数的相关变量数上建立了新的上界 $4.416 \cdot 2^d$。
• 从 $6.614 \cdot 2^d$ 到 $4.416 \cdot 2^d$ 的改进，使乘法常数减少了 33%。
• 通过有限线性规划计算出 $1 \leq d \leq 14$ 下的阻塞敏感度紧上界，得出 $d=14$ 时 $\text{bs}(f) \leq 114$。
• 限制后对 $W(f)$ 的递归分析显示 $W(30^2, 30) \leq 4.41571$，进而得出 $W^* \leq 4.4158$。
• 该方法通过使用计算得出的 $d$-特定界替代最坏情况的 $\text{bs}(f) \leq d^2$ 界，减少了原始论证中的松弛。
• 结果表明，阻塞敏感度作为 junta 大小的结构约束，其作用强于此前 $d^2$ 界所捕捉的程度。