[论文解读] A time-fractional mean field game

Fabio Camilli, Raul De Maio|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用 10

一句话总结

本文提出了一种时间分数阶平均场博弈（MFG）模型，其中代理人的动态遵循由分数阶时间导数控制的亚扩散过程，取代了经典扩散。通过温和解和不动点论证，建立了分数阶汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程与福克-普朗克方程耦合系统的适定性，证明了在适当函数空间中解的存在性与唯一性。

ABSTRACT

We consider a Mean Field Games model where the dynamics of the agents is subdiffusive. According to the optimal control interpretation of the problem, we get a system involving fractional time-derivatives for the Hamilton-Jacobi-Bellman and the Fokker-Planck equations. We discuss separately the well-posedness for each of the two equations and then we prove existence and uniqueness of the solution to the Mean Field Games system

研究动机与目标

• 将经典平均场博弈理论推广至由时间分数阶导数刻画的亚扩散动态。
• 在代理人表现出长时间等待的大型群体随机博弈中，建模记忆效应和异常扩散。
• 建立结合分数阶汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程与福克-普朗克方程的系统的适定性。
• 通过温和解与不动点论证，在测度取值设定下证明解的存在性与唯一性。
• 在分数阶参数 β → 1 的极限下，恢复经典MFG稳态解。

提出的方法

• 在汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程中使用向后Riemann-Liouville分数阶导数，在福克-普朗克方程中使用向前导数，构建时间分数阶MFG系统。
• 应用温和解理论处理分数阶汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程，确保在适当有界条件下的正则性与存在性。
• 在测度论框架下使用弱解处理分数阶福克-普朗克方程，确保质量守恒与可积性。
• 在具有有界二阶矩与 β/2-霍尔德连续性的概率测度的闭、凸、紧子集上应用不动点论证。
• 通过汉密尔顿-雅可比-贝尔曼解的统一有界性与福克-普朗克解的唯一性，建立解映射的连续性。
• 依赖动态规划与伊藤公式，验证控制问题与分数阶汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将平均场博弈推广至具有长时间等待与记忆效应的亚扩散动态？
• RQ2 汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程与福克-普朗克方程中涉及分数阶导数的耦合系统应如何正确表述？
• RQ3 时间分数阶MFG系统在何种条件下存在唯一解？
• RQ4 时间分数阶MFG系统的解在 β → 1 的极限下如何与经典MFG解相关联？
• RQ5 分数阶汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程与福克-普朗克方程的解具有何种正则性与可积性性质？

主要发现

• 时间分数阶MFG系统在空间 C([0,T]; C¹∞(ℝᵈ)) × C([0,T]; ℙ₁(ℝᵈ)) 中存在唯一解 (v, m)。
• 解通过具有有界二阶矩与 β/2-霍尔德连续性的概率测度的完备、凸、紧子集上的不动点论证构造。
• 汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程的温和解在 t ∈ [0,T] 上对所有 t 均在 C²(ℝᵈ) 中一致有界，确保对扰动的稳定性。
• 从测度空间到自身的映射 Φ 是连续的，这对于应用施瓦兹不动点定理至关重要。
• 时间分数阶MFG系统的稳态解在 β → 1 时退化为经典MFG解，从而恢复标准的汉密尔顿-雅可比-福克-普朗克系统。
• 分数阶福克-普朗克方程在弱意义下是适定的，解 m 是 C([0,T]; ℙ₁(ℝᵈ)) 中的弱解。