[论文解读] A Timecop's Chase Around the Table

Nils Morawietz, Petra Wolf|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Opportunistic and Delay-Tolerant Networks参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文研究了在具有边周期性的时变图（TVGs）上的警察与强盗游戏，其中每条边的存在性由表示其周期的二进制字符串决定。作者证明了在环形图上该问题为 NP-难和 W[1]-难，建立了与边周期最小公倍数（lcm）相对应的环形长度下界，并将一般问题的上界从 EXPTIME 改进至 PSPACE，从而解决了关键的复杂度差距。

ABSTRACT

We consider the cops and robber game variant consisting of one cop and one robber on time-varying graphs (TVG). The considered TVGs are edge periodic graphs, i.e., for each edge, a binary string $s_e$ determines in which time step the edge is present, namely the edge $e$ is present in time step $t$ if and only if the string $s_e$ contains a $1$ at position $t \mod |s_e|$. This periodicity allows for a compact representation of the infinite TVG. We proof that even for very simple underlying graphs, i.e., directed and undirected cycles the problem whether a cop-winning strategy exists is NP-hard and W[1]-hard parameterized by the number of vertices. Our second main result are matching lower bounds for the ratio between the length of the underlying cycle and the least common multiple (LCM) of the lengths of binary strings describing edge-periodicies over which the graph is robber-winning. Our third main result improves the previously known EXPTIME upper bound for Periodic Cop and Robber on general edge periodic graphs to PSPACE-membership.

研究动机与目标

• 确定在边周期性时变图上 PERIODIC COP & ROBBER 问题的计算复杂度。
• 分析在诸如有向图和无向图环这样的简单基础图上，是否存在警察获胜策略。
• 弥合一般 PERIODIC COP & ROBBER 问题已知上界与下界之间的复杂度差距。
• 研究边周期的最小公倍数（lcm）在决定追逐序列长度与策略复杂度中的作用。

提出的方法

• 将游戏建模为从警察与强盗位置配置图导出的 AND-OR 图中的可达性问题。
• 通过将配置图展开至最多 n²·lcm(LG) 个时间步，构建一个分层有向无环图（DAG），以模拟所有可能的追逐路径。
• 在 DAG 中利用吸引子计算，验证警察是否最终能抓住强盗，利用多项式空间的动态规划方法。
• 对 DAG 的层级进行迭代逆向归纳，计算每个时间步警察与强盗的获胜配置集合。
• 通过证明在吸引子计算过程中仅需在内存中存储当前与下一时间步的层级，证明了 PSPACE 成员性。
• 通过从已知难问题的归约，证明了在环形图上 NP-难与 W[1]-难，即使在严格的结构约束下亦成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在边周期性 TVG 上，PERIODIC COP & ROBBER 问题是否为 PSPACE-完全？
• RQ2 相对于边周期的最小公倍数，强盗获胜策略所需的最小环形长度是多少？
• RQ3 尽管随时间推移子图数量呈指数级增长，该问题是否仍可在多项式空间内求解？
• RQ4 即使限制在如环这样的简单基础图上，该问题是否仍为 NP-难？
• RQ5 在周期性图中，追逐序列长度与边周期最小公倍数之间存在何种关系？

主要发现

• 在边周期性 TVG 上，判断是否存在警察获胜策略的问题为 NP-难与 W[1]-难，即使限制在有向与无向环上亦成立。
• 本文为强盗获胜实例建立了环形长度与边周期最小公倍数之间比值的匹配下界。
• 作者将一般 PERIODIC COP & ROBBER 问题的已知上界从 EXPTIME 改进至 PSPACE。
• 通过将配置图展开至最多 n²·lcm(LG) 步，模拟所有可能的追逐序列，从而实现多项式空间验证。
• 在展开后的 DAG 中进行吸引子计算，可实现仅需同时存储两个连续时间层级的多项式空间算法。
• 结果表明，即使输入以紧凑形式表示，该问题可能需要一个新的复杂度类来描述具有指数级持续时间的仿真问题。