[论文解读] A Toolkit For Steady States of Nonlinear Wave Equations: Continuous Time Nesterov and Exponential Time Differencing Schemes

C. B. Ward, N. Whitaker+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2017

Nonlinear Photonic Systems参考文献 14被引用 5

一句话总结

本论文提出了一种新颖的工具箱，通过结合连续时间Nesterov加速与指数时间差分（ETD）及谱归一化，用于计算非线性波动方程的稳态解，特别是非线性薛定谔方程。所提出的算法——ACTN（加速连续时间Nesterov）和ETDV（变步长指数时间差分）——在收敛速度上显著优于标准方法，在一维和二维算例中迭代次数最多减少50%，包括对非对称态和激发态的收敛。

ABSTRACT

Several methods exist for finding ground (as well as excited) states of nonlinear waves equations. In this paper we first introduce two modifications of the so-called accelerated imaginary-time evolution method (AITEM). In our first modification, time integration of the underlying gradient flow is done using exponential time differencing instead of using more standard methods. In the second modification, we present a generalization of the gradient flow model, motivated by the work of Nesterov, as well as that of Candes and collaborators. Additionally, we consider combinations of these methods with the so-called spectral renormalization scheme. Finally, we apply these techniques to the so-called Squared Operator Method, enabling convergence to excited states. Various examples are shown to illustrate the effectiveness of these new schemes, comparing them to standard ones established in the literature. In most cases, we find significant reductions in the number of iterations needed to reach convergence.

研究动机与目标

• 开发更快、更鲁棒的迭代方法，用于计算非线性波动方程（特别是非线性薛定谔方程）的基态和激发态。
• 通过集成先进的时间积分格式，提升现有虚时演化方法的收敛速度与稳定性。
• 通过平方算子法（SOM）实现对非对称态和激发态（包括标准方法无法达到的态）的收敛。
• 在多种物理场景下，将新算法与AITEM、ITEM及谱归一化等成熟方法进行性能对比。
• 为非线性光学、原子物理和流体动力学领域的研究人员提供一种实用且计算高效的工具箱。

提出的方法

• 提出Nesterov加速梯度法的连续时间变体（ACTN），用于求解非线性波动方程能量泛函的梯度流。
• 引入ETDV，采用指数时间差分方法积分梯度流，相比标准显式方法提升了稳定性和收敛性。
• 将ACTN与ETDV结合谱归一化，以增强在具有非平凡约束或对称性问题中的收敛性能。
• 应用平方算子法（SOM）将原始稳态问题转化为可收敛至非基态（包括激发态和非对称态）的系统。
• 在ETDV中采用变步长策略，自适应控制时间步长，提升收敛效率。
• 基于瑞利商提出一种改进的拉格朗日乘子更新规则，动态调整演化过程中的化学势。

实验结果

研究问题

• RQ1 连续时间Nesterov加速是否能显著减少非线性薛定谔方程稳态解的收敛迭代次数？
• RQ2 指数时间差分（ETD）在非线性波动稳态问题中是否在收敛速度和稳定性方面优于标准时间积分方法？
• RQ3 ACTN与ETDV结合谱归一化是否能提升在多阱势中对非对称态或激发态的收敛性能？
• RQ4 在不同物理参数区域中，新算法与AITEM和ITEM等成熟方法相比，在迭代次数和鲁棒性方面表现如何？
• RQ5 当与加速Nesterov或ETD算法结合时，平方算子法（SOM）是否能有效实现对非基态的收敛？

主要发现

• 在单阱势的一维情形中，ACTN将基态收敛的迭代次数从AITEM的106次减少至59次，降幅达44%。
• 在双阱势的一维情形中，仅ETDV成功收敛至非对称基态，其他方法或失败或收敛缓慢。
• 在具有抛物线势阱的二维非聚焦NLS问题中，ACTN与ETDV分别在107–114次迭代内收敛，优于AITEM（177次）和AITEMRe（171次）。
• 在具有周期势的二维聚焦NLS问题中，所有方法均收敛至带隙孤子，但ACTN与ETDV的迭代次数少于AITEM与AITEMRe。
• ACTN与平方算子法（SOM）结合，成功收敛至一维系统中的激发态，包括多波峰和非对称解，而标准方法无法达到此类态。
• ETDV在复杂势场中表现出更优的鲁棒性，是唯一在双阱情形中成功收敛至非对称基态的方法。