[论文解读] A Topos Formulation of Consistent Histories

Cecilia Flori|ArXiv.org|Dec 7, 2008

Quantum Mechanics and Applications参考文献 18被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种无需依赖退相干泛函或一致集的量子历史理论的拓扑范畴形式化，转而使用海廷代数和时序逻辑为时序排列的命题分配广义真值。其主要贡献是一个基于拓扑范畴的框架，能够在时间上保持因果结构，且在时间有序上下文的预层拓扑范畴中，时序逻辑结构保持同构。

ABSTRACT

Topos theory has been suggested by Doring and Isham as an alternative mathematical structure with which to formulate physical theories. In particular it has been used to reformulate standard quantum mechanics in such a way that a novel type of logic is used to represent propositions. In this paper we extend this formulation to include temporally-ordered collections of propositions as opposed to single-time propositions. That is to say, we have developed a quantum history formalism in the language of topos theory where truth values can be assigned to temporal propositions. We analyse the extent to which such truth values can be derived from the truth values of the constituent, single-time propositions.

研究动机与目标

• 开发一种避免依赖退相干泛函和一致集的量子历史的拓扑范畴形式化。
• 将Döring和Isham的量子力学拓扑范畴形式化扩展至包含时序排列命题。
• 在拓扑范畴框架内定义一种保持量子态时序演化因果性的连贯时序逻辑。
• 研究历史命题的真值如何通过基于拓扑范畴的评估映射与单时间命题的真值相关联。
• 为将该形式化扩展至复合系统中非张量积结构的纠缠情形奠定基础。

提出的方法

• 使用时间有序上下文范畴上的预层拓扑范畴对量子历史命题进行形式化，具体为 ${\bf Sets}^{(\mathcal{V}({\cal H}_{t_{1}})\times\mathcal{V}({\cal H}_{t_{2}}))^{\rm op}}$。
• 通过拓扑范畴中的子对象分类子，定义每个时间点的命题海廷代数，即 $\mathrm{Sub}(\underline{\Sigma}^{{\cal H}_{t}})$。
• 建立联合历史命题的海廷代数与单时间海廷代数张量积之间的同构关系，即 $\mathrm{Sub}(\underline{\Sigma}^{{\cal H}_{t_{1}}\otimes{\cal H}_{t_{2}}}) \cong \mathrm{Sub}(\underline{\Sigma}^{{\cal H}_{t_{1}}}) \otimes \mathrm{Sub}(\underline{\Sigma}^{{\cal H}_{t_{2}}})$。
• 在中间拓扑范畴中构造一个保持历史命题时序结构的评估映射。
• 利用拓扑范畴框架，为历史命题定义广义真值，而无需引入态矢量约化或退相干泛函。
• 探讨非纯张量积结构的纠缠上下文的逻辑结构，识别当前形式化中的局限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种不依赖退相干泛函或一致集的量子历史的拓扑范畴形式化？
• RQ2 在拓扑范畴框架中，时序排列的历史命题的真值如何与它们的单时间成分的真值相关联？
• RQ3 时序逻辑在拓扑范畴形式化中扮演何种角色？在缺乏态矢量约化的情况下，因果性如何在时间上保持？
• RQ4 该拓扑范畴形式化能否扩展至处理复合系统中纠缠的、非张量积结构的上下文？
• RQ5 是否可能在这一基于拓扑范畴的历史形式化中恢复路径积分或退相干泛函？

主要发现

• 该形式化建立了联合历史命题的海廷代数与单时间海廷代数张量积之间的同构关系，保持了时序结构。
• 中间拓扑范畴中的评估映射正确保持了历史命题的时序逻辑，确保了时间上的一致性。
• 该框架无需退相干泛函或一致集，为量子历史理论提供了新的基础。
• 历史命题的真值通过拓扑范畴结构从单时间命题导出，无需引入态矢量约化。
• 由于缺乏态矢量约化，较晚时间的真值通过幺正演化与早期真值保持因果关联，而非通过坍缩。
• 该形式化指出了关于纠缠上下文的开放问题，并探讨了在拓扑范畴框架内重新引入概率和退相干泛函的可能性。