[论文解读] A Topos Perspective on the Kochen-Specker Theorem: III. Von Neumann Algebras as the Base Category

John R. Hamilton, C. J. Isham+1 more|ArXiv.org|Nov 5, 1999

Quantum Mechanics and Applications参考文献 4被引用 16

一句话总结

本文通过引入交换 von Neumann 代数作为基范畴，将拓扑斯理论方法推广至量子力学，将早期基于有界算子或布尔子代数的框架加以推广。它通过谱投影算子和理想，建立了筛值赋值与区间值赋值之间的自然对应关系，表明量子态通过其支撑投影算子诱导出谱预层的子对象。

ABSTRACT

We extend the topos-theoretic treatment given in previous papers of assigning values to quantities in quantum theory, and of related issues such as the Kochen-Specker theorem. This extension has two main parts: the use of von Neumann algebras as a base category (Section 2); and the relation of our generalized valuations to (i) the assignment to quantities of intervals of real numbers, and (ii) the idea of a subobject of the coarse-graining presheaf (Section 3).

研究动机与目标

• 将量子赋值的拓扑斯理论框架推广至有界算子和布尔子代数范畴之外。
• 确立交换 von Neumann 代数作为定义广义赋值的自然且更一般的基范畴。
• 阐明在量子理论中筛值赋值与区间值赋值之间的关系。
• 展示在 von Neumann 代数框架下，量子态如何通过其支撑投影算子诱导出谱预层 $\bf\Sigma$ 的子对象。

提出的方法

• 引入 $\cal V$：$B(\cal H)$ 的交换 von Neumann 子代数的范畴，以包含关系作为态射。
• 在 $\cal V$ 上定义谱预层 $\bf\Sigma$ 和对偶预层 $\bf D$，推广了在 $\cal O$ 和 $\cal W$ 上的早期构造。
• 通过在 $\cal V$ 中分配保持函数关系的态射筛，为命题 $A \in \Delta$ 构造筛值赋值。
• 利用每个 $V \in \cal V$ 的 Gelfand 谱 $\sigma(V)$ 上的谱拓扑，定义与投影算子对应的紧开子集。
• 通过 $V$ 中的理想定义区间值赋值，特别是理想 $\iota^\psi(V) = \{ \hat{A} \in V \mid \hat{A}\psi = 0 \}$，其支撑对应于态的支撑投影算子。
• 证明最大投影算子 $\hat{Q}_{\rm max} = \sup \mathcal{P}(\iota^\psi(V))$ 定义了 $\sigma(V)$ 的紧开子集，对应于 $\bf\Sigma$ 的子对象 $\bf I^\rho$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将量子赋值的拓扑斯理论框架推广至有界算子和布尔子代数范畴之外？
• RQ2 在 von Neumann 代数的语境下，筛值赋值与区间值赋值之间存在何种关系？
• RQ3 当基范畴为 $\cal V$ 时，量子态如何诱导出谱预层 $\bf\Sigma$ 的子对象？
• RQ4 commutative von Neumann 代数中的理想是否能自然地导出可观测量的区间值赋值？
• RQ5 在 $\sigma(V)$ 上的谱拓扑如何影响在广义赋值框架中对投影算子和紧开子集的解释？

主要发现

• 交换 von Neumann 代数的范畴 $\cal V$ 提供了一个比 $\cal O$ 或 $\cal W$ 更自然且更一般的基范畴，以典范方式包含两者。
• 谱预层 $\bf\Sigma$ 和对偶预层 $\bf D$ 可在 $\cal V$ 上自然定义，保持早期工作的拓扑斯理论结构。
• 通过谱函子，命题 $A \in \Delta$ 的筛值赋值与 $\sigma(V)$ 的紧开子集之间建立对应关系，确立了拓扑联系。
• 量子态 $\psi$ 在 von Neumann 代数 $V$ 中的支撑由理想 $\iota^\psi(V)$ 中的最大投影算子 $\hat{Q}_{\rm max}$ 捕获，该算子对应于 $\sigma(V)$ 的紧开子集。
• 该支撑投影算子 $\hat{Q}_{\rm max}$ 定义了一个与 $\bf I^\rho$ 同构的 $\bf\Sigma$ 的子对象，即在拓扑斯理论框架中与态 $\rho$ 关联的子对象。
• 该构造表明，区间值赋值自然地源自 $V$ 中的理想，紧开集 $\{ \kappa \in \sigma(V) \mid \kappa(\hat{1} - \hat{Q}_{\rm max}) = 1 \}$ 表示可观测量被赋予的值的集合。