[论文解读] A tournament of order 24 with two disjoint TEQ-retentive sets

Felix Brandt, Hans Georg Seedig|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2013

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 11被引用 9

一句话总结

该论文构建了一个24阶的竞赛图，其中包含两个不相交且同构的TEQ保持集合，首次给出了对Schwartz关于最小TEQ保持集合唯一性猜想的显式反例。该构造表明，竞赛图均衡集（TEQ）解并不总是产生唯一的包含最小保持集合，从而以远小于此前概率存在性证明（约10^136种备选项）的更小规模反例，解决了这一长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

Brandt et al. (2013) have recently disproved a conjecture by Schwartz (1990) by non-constructively showing the existence of a counterexample with about 10^136 alternatives. We provide a concrete counterexample for Schwartz's conjecture with only 24 alternatives.

研究动机与目标

• 为Schwartz关于竞赛图中最小TEQ保持集合唯一性的猜想提供一个具体且构造性的反例。
• 将此前概率存在性证明中约10^136种备选项的反例规模大幅缩减至可管理的24个备选项。
• 证明在单个竞赛图中可以共存两个不相交且同构的TEQ保持集合，从而违反Schwartz猜想所隐含的唯一性条件。
• 建立关于阈值大小 $ n_{\mathit{TEQ}} $ 的更紧界，即所有竞赛图均存在唯一最小TEQ保持集合的最大阶数。

提出的方法

• 该竞赛图被构造为两个同构子竞赛图 $ X $ 和 $ Y $ 的并集，每个子竞赛图阶数为12，且它们之间具有对称的支配关系。
• 每个子竞赛图内部结构（$ T|_X $ 和 $ T|_Y $）通过为每个备选项 $ x_i $ 显式定义支配集 $ \overline{D}_X(x_i) $ 来确定，以确保结构对称性。
• 子竞赛图之间的支配关系定义为 $ X_1 \succ Y_2 $，$ X_2 \succ Y_1 $，$ Y_1 \succ X_1 $，$ Y_2 \succ X_2 $，形成一种循环且平衡的互动模式。
• 对每个备选项的支配集 $ \overline{D}_A(x_i) $ 计算TEQ解，并验证结果完全位于 $ X $ 或 $ Y $ 内部，从而确认其TEQ保持性。
• 在TEQ输出中保持了 $ X $ 与 $ Y $ 之间的对称性：当且仅当 $ x_j \in \mathit{TEQ}(\overline{D}_A(x_i)) $ 时，有 $ y_j \in \mathit{TEQ}(\overline{D}_A(y_i)) $，从而确保两个保持集合的同构性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个有限且显式的竞赛图，其包含多个包含最小TEQ保持集合？
• RQ2 能否将Schwartz猜想反例的规模从此前的概率存在性证明中大幅缩减？
• RQ3 何种结构特性使得单个竞赛图中可共存多个不相交的TEQ保持集合？
• RQ4 在小阶数的所有竞赛图中，竞赛图均衡集（TEQ）解是否总是由唯一的最小保持集合唯一确定？

主要发现

• 所构造的24阶竞赛图包含两个不相交且同构的TEQ保持集合 $ X $ 和 $ Y $，每个大小为12，证明了多个最小TEQ保持集合的存在性。
• 每个备选项的支配集的TEQ解完全位于 $ X $ 或 $ Y $ 之一内部，确认了其TEQ保持性质。
• 在 $ X $ 与 $ Y $ 之间的支配结构是对称的：$ X_1 \succ Y_2 $，$ X_2 \succ Y_1 $，$ Y_1 \succ X_1 $，$ Y_2 \succ X_2 $，保持了结构同构性。
• 对应元素在 $ X $ 和 $ Y $ 中的TEQ输出在结构上完全一致，确认了两个TEQ保持集合的同构性。
• 该反例确立了 $ 12 \leq n_{\mathit{TEQ}} \leq 23 $，其中 $ n_{\mathit{TEQ}} $ 是所有竞赛图均存在唯一最小TEQ保持集合的最大阶数。