[论文解读] A toy model for time evolving QFT on a lattice with controllable chaos

David Berenstein|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2018

Quantum many-body systems参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文提出了一种基于张量积上量子环面的广义量子猫映射的离散时间量子格点模型，实现了李雅普诺夫指数和纠缠熵演化的解析计算。结果表明，空间区域间的纠缠速率受 log(N) 控制；当 N=2 时，系统表现为一个量子细胞自动机，可广播经典信息并生成广义 GHZ 态，且通过在对偶基中准备初始态可实现对纠缠的调控。

ABSTRACT

A class of models with a dynamics of generalized quantum cat maps on a product of quantum tori is described. These tori are defined by an algebra of clock-shift matrices of dimension $N$. The dynamics is such that the Lyapunov exponents can be computed analytically at large $N$. Some of these systems can be thought of as a toy model for quantum fields on a lattice under a time evolution with nearest neighbor interactions, resembling a quantum version of a cellular automaton. The dynamics of entangling is studied for initial product states. Some of these entangle at rates determined by Lyapunov exponents of the system at large $N$ when the initial states are gaussian. For other classes of states, entanglement between two regions can be computed analytically: it is found that entanglement rates are controlled by $\log(N)$. Some of these setups can be realized on quantum computers with CNOT quantum gates. This is analyzed in detail where we find that the dynamics has a self-similar behavior and various peculiar behaviors. This dynamics can be interpreted in a particular basis as a machine that broadcasts classical messages in one direction and that produces over time a generalized GHZ state with the receiving region once we consider superpositions of such messages. With the appropriate choice of quantum vacuum on the receiving end of the system one can stop the message from leaving the broadcast area.

研究动机与目标

• 开发一种在格点上具有解析可计算混沌与纠缠动力学的可控量子场论玩具模型。
• 探讨具有离散时间演化之量子系统中李雅普诺夫指数与纠缠产生速率之间的关系。
• 研究在量子格点设置中，纠缠熵演化是否可被 log(N) 限制，且独立于李雅普诺夫指数。
• 证明通过特定初始态准备可实现纠缠的局域化或抑制，这是经典动力学中不存在的纯粹量子效应。
• 提供一个可由量子计算实现的模型，使用 CNOT 门实现自相似动力学与广义 GHZ 态形成。

提出的方法

• 该模型采用在 N 维量子环面张量积上的离散时间演化，由时钟移位矩阵构成代数结构。
• 通过从映射的经典单值矩阵导出的单个矩阵的对角化，实现李雅普诺夫指数的解析计算。
• 利用从初始直积态导出的密度矩阵，计算空间区域间的纠缠熵，特别关注高斯态与半经典初始态。
• 通过离散傅里叶变换将动力学映射到对偶基，揭示出自相似分形结构，例如当 N=2 时出现的谢尔宾斯基三角形。
• 当 N=2 时，该模型可使用 CNOT 门在当前量子计算机上实现，从而实现对纠缠控制的实验基准测试。
• 系统在一种可模拟可逆经典细胞自动机的基中被分析，经典信息通过晶格单向广播。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可在具有可控混沌的量子格点场论模型中，对李雅普诺夫指数与纠缠熵演化实现解析计算？
• RQ2 空间区域间纠缠产生速率随希尔伯特空间维数 N 的增长如何变化？其是否受 log(N) 控制而非李雅普诺夫指数？
• RQ3 是否可通过选择特定初始态在动力学上抑制或局域化纠缠，特别是在经典动力学无法实现此类控制的量子 regime 中？
• RQ4 由于量子效应，半经典近似在多大程度上会失效？这种失效在何时标发生？
• RQ5 此类模型是否可使用标准量子门（如 CNOT）在近期量子计算机上实现？

主要发现

• 在大 N 情况下，可通过从经典单值矩阵导出的单个矩阵的对角化，解析计算该模型中的李雅普诺夫指数。
• 对于一大类初始态，空间区域间纠缠熵的产生速率被 log(N) 上限控制，且独立于李雅普诺夫指数。
• 对于半经典初始态（最小化不确定性），纠缠增长速率由最大李雅普诺夫指数之和控制，与半经典预期一致。
• 该模型表现出自相似动力学，当 N=2 时，纠缠演化中出现如谢尔宾斯基三角形等分形结构。
• 当接收区域被制备为 Hadamard 态的直积时，区域间的纠缠可被完全停止，这是经典动力学中不存在的纯粹量子效应。
• 当 N=2 时，该模型可在当前量子计算机上使用 CNOT 门实现，从而可实验研究可控纠缠与信息广播。