[论文解读] A TQFT of Intersection Numbers on Moduli Spaces of Admissible Covers

Renzo Cavalieri|ArXiv.org|Dec 11, 2005

Polynomial and algebraic computation参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文构建了一个两级加权拓扑量子场论（TQFT），其结构常数为可接受覆盖模空间上的等变交点数。通过在 $\mathbb{P}^1$ 的可接受覆盖模空间上使用局部化方法，该理论被显式计算，得到的弗罗贝尼乌斯代数是一族对对称群 $S_d$ 的类代数的一参数形变，且在特殊情形下通过表示论导出了闭合公式。

ABSTRACT

We construct a two-level weighted TQFT whose structure coefficents are equivariant intersection numbers on moduli spaces of admissible covers. Such a structure is parallel (and strictly related) to the local Gromov-Witten theory of curves of Bryan-Pandharipande. We compute explicitly the theory using techniques of localization on moduli spaces of admissible covers of a parametrized projective line. The Frobenius Algebras we obtain are one parameter deformations of the class algebra of the symmetric group S_d. In certain special cases we are able to produce explicit closed formulas for such deformations in terms of the representation theory of S_d.

研究动机与目标

• 构建一个两级加权TQFT，其结构系数为可接受覆盖模空间上的等变交点数。
• 通过在 (0,0) 层级等价及高层的通用生成函数归一化，将该TQFT与局部格罗莫夫-威滕理论（特别是Bryan和Pandharipande (BP04) 的理论）关联起来。
• 使用 $\mathbb{P}^1$ 的可接受覆盖模空间上的局部化技术，显式计算该TQFT。
• 在反对角 $\mathbb{C}^*$-作用下，利用对称群 $S_d$ 的表示理论，推导出不变量与形变的闭合表达式。
• 证明所得到的弗罗贝尼乌斯代数是一族对 $S_d$ 类代数的一参数形变，并在特殊情形下给出显式公式。

提出的方法

• 在参数化的 $\mathbb{P}^1$ 的可接受覆盖模空间上使用阿蒂yah-Bott局部化计算不变量。
• 应用维数计数并约化到 $\overline{M}_{g,n}$ 上的经典交点理论。
• 利用法伯-潘达帕德的霍奇积分计算结果以及 ELSV 公式，关联不同层级之间的不变量。
• 专门研究反对角 $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*$ 作用，以对角化理论并实现表示论公式。
• 利用 ACV 的堆栈描述，将可接受覆盖模空间的归一化表示为到 $\mathcal{B}S_d$ 的平衡稳定映射。
• 依赖于TQFT的半单性及生成函数的比较，证明该理论与Bryan-Pandharipande理论在归一化因子意义下等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将可接受覆盖模空间上的等变交点数组织为结构化的TQFT？
• RQ2 该TQFT与Bryan和Pandharipande所发展的曲线局部格罗莫夫-威滕理论之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否利用 $S_d$ 的表示理论，为该TQFT的不变量推导出显式闭合公式？
• RQ4 反对角 $\mathbb{C}^*$-作用在对角化TQFT和简化结构常数方面起到什么作用？
• RQ5 该TQFT的弗罗贝尼乌斯代数与 $S_d$ 的类代数有何关系？它们以何种方式构成其形变？

主要发现

• 理论 $\mathcal{U}$ 是一个两级、半单、加权的TQFT，其结构系数为可接受覆盖模空间上的等变交点数。
• 所得的弗罗贝尼乌斯代数是一族对 $S_d$ 类代数的一参数形变，其中零度部分源自赫尔维茨数。
• 在反对角情形下，不变量可表示为舒尔函数与表示论数据的显式闭合公式：$\mu_\rho = s^d \left(\frac{\dim_Q \rho}{\dim \rho}\right) Q^{n(\rho)}$。
• 在层级 $(0,-1)$ 的单点亏格 0 不变量由生成函数给出：$A_d(0|0,-1)_\eta = (-1)^{d-\ell(\eta)} \frac{(2\sin(u/2))^d}{(s_1)^{\ell(\eta)} \mathfrak{z}(\eta) \prod 2\sin(\eta_i u / 2)}$。
• 理论 $\mathcal{U}$ 与 $\mathcal{BP}$（Bryan-Pandharipande）之间的关系为：$A_d(g|k_1,k_2)_\eta = (d!)^{k_1+k_2} s_1^{dk_2} s_2^{dk_1} \mathcal{BP}_d(g|k_1,k_2)_\eta \cdot \mathcal{BP}_d(0|0,-1)_{(1,\dots,1)}^{k_1+k_2}$，表明 $\mathcal{U}$ 是 $\mathcal{BP}$ 的归一化形式。
• 该理论为 $[\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_3]$ 的局部格罗莫夫-威滕不变量提供了TQFT实现，其中 $\mu_\rho$ 与 $\overline{\mu}_\rho$ 的显式公式以 $Q$-变形维数和钩长表示。