[论文解读] A Trace Formula for Certain Hecke Operators and Gaussian Hypergeometric Functions

Catherine Lennon|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文推导出在权 $k$ 和水平 3 与 9 的尖点形式上，Hecke 算子 $T_k(p)$ 的显式迹公式，通过有限域上高斯超几何函数的特殊值来表达。它证明了具有 3-挠率的椭圆曲线的 Frobenius 迹等于一个归一化的超几何和，并将其应用于给出 $\eta(3z)^8$ 的傅里叶系数的递归公式，通过模形式将这些系数与一个三流形上的点计数联系起来。

ABSTRACT

We present here simple trace formulas for Hecke operators $T_k(p)$ for all $p>3$ on $S_k(Γ_0(3))$ and $S_k(Γ_0(9))$, the spaces of cusp forms of weight $k$ and levels 3 and 9. These formulas can be expressed in terms of special values of Gaussian hypergeometric series and lend themselves to simple recursive expressions in terms of traces of Hecke operators on spaces of lower weight. Along the way, we show how to express the traces of Frobenius of a family of elliptic curves with 3-torsion as special values of a Gaussian hypergeometric series over $\mathbb{F}_q$, when $q\equiv 1 \pmod{3}$. We also use these formulas to provide a simple expression for the Fourier coefficients of $η(3z)^8$, the unique normalized cusp form of weight 4 and level 9, and then show that the number of points on a certain threefold is expressible in terms of these coefficients.

研究动机与目标

• 推导出在 $S_k(\Gamma_0(3))$ 和 $S_k(\Gamma_0(9))$ 上，对 $p > 3$ 的 Hecke 算子 $T_k(p)$ 的简单、递归的迹公式。
• 当 $q \equiv 1 \pmod{3}$ 时，用有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的高斯超几何级数表达具有 3-挠率的椭圆曲线的 Frobenius 迹。
• 通过雅可比和，给出 $\eta(3z)^8$ 的傅里叶系数的闭式表达，该形式是权 4 和水平 9 的唯一尖点形式。
• 通过这些迹公式，将某个三流形在 $\mathbb{F}_p$ 上的有理点数与权 4、水平 9 的模形式的傅里叶系数联系起来。

提出的方法

• 使用归一化的雅可比和 $\left({A \atop B}\right)$ 来定义有限域上的高斯超几何级数。
• 通过形式 $y^2 + a_1xy + a_3y = x^3$ 参数化具有 3-挠率的椭圆曲线，以促进迹的计算。
• 应用高斯和恒等式与特征和的代数操作，将 Frobenius 迹与超几何级数联系起来。
• 通过将 $\operatorname{tr}_k(\Gamma_0(3), p)$ 和 $\operatorname{tr}_k(\Gamma_0(9), p)$ 表示为低权 Hecke 迹的形式，推导出递归迹公式。
• 使用恒等式 $G_{m + \frac{q-1}{3}} G_{-m} = \left(T^{m + \frac{q-1}{3}} \atop T^m\right) G_{\frac{q-1}{3}} q T^m(-1)$ 来简化特征和展开。
• 通过将三流形的模性表达为 $\eta(3z)^8$ 的傅里叶系数，利用由超几何迹导出的这些系数，来利用其模性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $S_k(\Gamma_0(3))$ 和 $S_k(\Gamma_0(9))$ 上 Hecke 算子 $T_k(p)$ 的迹用有限域 $\mathbb{F}_q$ 上的高斯超几何函数表示？
• RQ2 当 $q \equiv 1 \pmod{3}$ 时，具有 3-挠率的椭圆曲线的 Frobenius 迹是否等于高斯超几何级数的某个特殊值？
• RQ3 $\eta(3z)^8$ 的傅里叶系数能否用雅可比和与超几何函数表示？
• RQ4 某个三流形在 $\mathbb{F}_p$ 上的有理点数是否依赖于水平 9、权 4 的模形式的傅里叶系数？
• RQ5 具有 $j$-不变量 0 的同源椭圆曲线的 Frobenius 迹之和与超几何函数之间存在何种关系？

主要发现

• 当 $q \equiv 1 \pmod{3}$ 时，具有 3-挠率的椭圆曲线 $E_{a_1,a_3}$ 模 $p$ 的 Frobenius 自同态的迹为 $t_q(E_{a_1,a_3}) = -q \cdot {}_2F_1\left(\left.\begin{array}{cc} \rho & \rho^2 \\ & \epsilon \end{array}\right| 27a_1^{-3}a_3 \right)_q$，其中 $\rho$ 是阶为 3 的特征。
• $\eta(3z)^8$（权 4 和水平 9 的唯一归一化尖点形式）的傅里叶系数可用雅可比和表示，并满足由 Hecke 迹恒等式导出的递归公式。
• 当 $k \equiv 2 \pmod{3}$ 时，三个同源曲线 $E_{0,\alpha}$、$E_{0,\alpha^2}$ 和 $E_{0,\alpha^3}$ 的 Frobenius 迹的平均值为 $-p^{k-2} \cdot {}_2F_1\left(\left.\begin{array}{cc} \rho & \rho^2 \\ & \epsilon \end{array}\right| 9 \cdot 8^{-1} \right)_{p^{k-2}}$，否则该和为零。
• 某个三流形在 $\mathbb{F}_p$ 上的有理点数可表示为 $\eta(3z)^8$ 的傅里叶系数的线性组合，而这些系数本身由超几何迹公式确定。
• $S_k(\Gamma_0(3))$ 和 $S_k(\Gamma_0(9))$ 上 Hecke 算子 $T_k(p)$ 的迹可通过超几何恒等式，表示为低权空间中迹的递归表达式。
• 通过三流形的点计数与模形式的傅里叶系数之间的联系，确立了其模性，而后者通过有限域上的超几何函数计算得出。