[论文解读] A trace formula for varieties over a discretely valued field

Johannes Nicaise|ArXiv.org|May 9, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 11

一句话总结

本文通过使用Bittner的表示和Néron光滑化，将动机Serre不变量扩展到特征零的任意$K$-代数簇，从而为离散赋值域上的代数簇建立了一个迹公式。关键贡献是一个环同态$ S: \mathcal{M}_K \to K_0(\mathrm{Var}_k)/(ℓ-1) $，该同态提供了可进行上同调解释的不变量，用于度量非分歧点，并实现了格罗滕迪克簇环的新实现方式。

ABSTRACT

We study the motivic Serre invariant of a smoothly bounded algebraic or rigid variety $X$ over a complete discretely valued field $K$ with perfect residue field $k$. If $K$ has characteristic zero, we extend the definition to arbitrary $K$-varieties using Bittner's presentation of the Grothendieck ring and a process of Néron smoothening of pairs of varieties. The motivic Serre invariant can be considered as a measure for the set of unramified points on $X$. Under certain tameness conditions, it admits a cohomological interpretation by means of a trace formula. In the curve case, we use T. Saito's geometric criterion for cohomological tameness to obtain more detailed results. We discuss some applications to Weil-Châtelet groups, Chow motives, and the structure of the Grothendieck ring.

研究动机与目标

• 将动机Serre不变量推广到特征零的离散赋值域上任意代数$K$-簇。
• 在良态条件下，通过迹公式为动机Serre不变量提供上同调解释。
• 构建从局部化格罗滕迪克环$\mathcal{M}_K$到$K_0(\mathrm{Var}_k)/(\mathbb{L}-1)$的可计算实现同态。
• 利用庞加莱多项式及其他不变量研究簇的格罗滕迪克环结构。
• 将结果应用于韦伊-尚塔尔群、楚瓦动机以及实现映射的非单射性问题。

提出的方法

• 利用Bittner对格罗滕迪克环的表示，将动机Serre不变量扩展到特征零的任意$K$-簇。
• 为光滑$K$-簇对引入广义的Néron光滑化过程，以处理爆破关系。
• 在有限型分离态射上定义庞加莱多项式不变量，该不变量与基变换相容，并在有限域上归一化。
• 构造一个环同态$ S: \mathcal{M}_K \to K_0(\mathrm{Var}_k)/(\mathbb{L}-1) $，实现所有$K$-簇的动机Serre不变量。
• 将同态$S$应用于证明到有效楚瓦动机的实现映射不是单射的。
• 利用庞加莱多项式通过概形上的构造函数区分$K_0(\mathrm{Var}_k)$与$\mathcal{M}_k$中的元素。

实验结果

研究问题

• RQ1 动机Serre不变量能否从光滑射影簇推广到离散赋值域上特征零的任意$K$-簇？
• RQ2 在非良态情形下，动机Serre不变量是否可通过迹公式获得上同调解释？
• RQ3 像到楚瓦动机或庞加莱多项式的实现同态如何帮助区分格罗滕迪克簇环中的元素？
• RQ4 Néron光滑化在确保动机Serre不变量对爆破关系的良定义性方面起什么作用？
• RQ5 庞加莱多项式能否被唯一地刻画为有限型态射上的构造性、与基变换相容的不变量？

主要发现

• 对于特征零的$K$，动机Serre不变量唯一地扩展为环同态$ S: \mathcal{M}_K \to K_0(\mathrm{Var}_k)/(\mathbb{L}-1) $，为$\mathcal{M}_K$提供了可计算的实现。
• 通过Néron光滑化和Bittner定理，同态$S$实现了所有$K$-簇（而不仅光滑射影簇）的动机Serre不变量。
• 庞加莱多项式$P(f;T)$是有限型分离态射上唯一的构造性、与基变换相容的不变量，并在有限域上归一化。
• 同态$S$表明到有效楚瓦动机的实现映射不是单射的，如命题7.9所示。
• 庞加莱多项式定义了一个与基变换相容的环同态$ K_0(\mathrm{Var}_X) \to \mathcal{C}(X,\mathbb{Z}[T]) $，对任意诺特概形$X$成立。
• 在良态条件下，动机Serre不变量的迹公式成立，将其与良态$\ell$-进上同调上的单峰算子的迹联系起来。