[论文解读] A Transform Approach to Linear Network Coding for Acyclic Networks with Delay

Teja Damodaram Bavirisetti, G. Abhinav+2 more|ePrints-IISc. (Indian Institute of Science Bangalore)|Mar 20, 2011

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 7被引用 5

一句话总结

该论文提出一种基于变换的方法，利用有限域离散傅里叶变换（DFT）将具有整数延迟链路的无环网络转换为等效的n-瞬时网络，从而实现网络对齐技术的应用。证明了在网络变换下网络编码的存在性得以保持，并表明在三个源、三个目的节点的单播网络中，即使零干扰条件不成立，通过时不变或时变的局部编码核（LEKs），仍可实现最小割速率的一半（1/2），该速率在n → ∞时渐近成立。

ABSTRACT

The algebraic formulation for linear network coding in acyclic networks with the links having integer delay is well known. Based on this formulation, for a given set of connections over an arbitrary acyclic network with integer delay assumed for the links, the output symbols at the sink nodes, at any given time instant, is a \mathbb{F}_{q}$-linear combination of the input symbols across different generations, where $\mathbb{F}_{q}$ denotes the field over which the network operates. We use finite-field discrete fourier transform (DFT) to convert the output symbols at the sink nodes, at any given time instant, into a $\mathbb{F}_{q}$-linear combination of the input symbols generated during the same generation. We call this as transforming the acyclic network with delay into {\em $n$-instantaneous networks} ($n$ is sufficiently large). We show that under certain conditions, there exists a network code satisfying sink demands in the usual (non-transform) approach if and only if there exists a network code satisfying sink demands in the transform approach. Furthermore, we show that the transform method (along with the use of alignment strategies) can be employed to achieve half the rate corresponding to the individual source-destination min-cut (which are assumed to be equal to 1) for some classes of three-source three-destination unicast network with delays, when the zero-interference conditions are not satisfied.

研究动机与目标

• 解决在零干扰条件不满足时，无环网络中延迟导致的保证最小吞吐量的挑战。
• 通过有限域DFT将延迟网络行为转换为瞬时行为，从而消除中间节点的存储需求。
• 将网络对齐技术扩展至具有延迟的无环网络，实现在传统方法失效场景下的吞吐量保证。
• 为具有任意最小割配置的三源三目的单播网络，提供一种实现个体源-目的对最小割速率一半（假设为1）的构造性框架。

提出的方法

• 对汇节点的输出符号应用有限域离散傅里叶变换（DFT），将其表示为同一世代输入符号的Fq线性组合，从而将延迟网络有效转换为n-瞬时网络。
• 采用构造性证明，表明原始（非变换）域与变换后（瞬时）域中网络编码存在的等价性。
• 引入时不变和时变的局部编码核（LEKs），以在变换后的域中实现网络对齐。
• 推导出涉及信道转移函数与预编码矩阵（V1, V2, V3）的矩阵的秩条件，以确保源符号在汇点的精确恢复。
• 将瞬时网络中的网络对齐原理应用于变换后的延迟网络模型，以实现速率保证。
• 考虑源-目的对（S_i-D_j, i≠j）之间的各种最小割配置（包括零割与非零割），并推导出成功恢复符号的充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用有限域DFT将具有整数延迟的无环网络的卷积行为转换为瞬时行为？
• RQ2 原始延迟网络中网络编码的存在性是否等价于变换后瞬时网络中编码的存在性？
• RQ3 在变换域中，网络对齐在何种条件下可实现在三源三目的单播延迟网络中达到最小割速率的一半？
• RQ4 当零干扰条件被违反时，时不变和时变的局部编码核（LEKs）是否可在变换域中有效使用以实现吞吐量保证？
• RQ5 不同干扰源-目的对之间的最小割配置如何影响变换后网络模型中的可实现吞吐量？

主要发现

• 该变换方法保持了网络编码的存在性：原始网络中存在编码当且仅当变换后的瞬时网络中存在编码。
• 对于具有延迟的三源三目的单播网络，当变换后系统矩阵的秩条件充分满足时，所有源-目的对的吞吐量在n → ∞时渐近达到1/2。
• 在类别1（所有交叉最小割≥1）中，S1-D1、S2-D2和S3-D3的吞吐量分别为(n+1)/(2n+1)、n/(2n+1)和n/(2n+1)，当n → ∞时趋近于1/2。
• 在类别4（四个交叉最小割为零）中，S1-D1、S2-D2和S3-D3的吞吐量分别为(n+1)/(2n+1)、n/(2n+1)和(2n+1)/(2n+1)，当n → ∞时，S1-D1和S2-D2的吞吐量为1/2，S3-D3的吞吐量为1。
• 该方法在类别4中实现了接近2的总吞吐量，这在一般延迟网络中并不直接成立，但通过变换与对齐框架得以实现。
• 该方法可扩展至传递矩阵M(D)中包含有理函数的网络，通过消去分母实现，且适用于无环与有环网络。