[论文解读] A transformation for Lévy processes with one-sided jumps and applications

Marie Chazal, Andreas E. Kyprianou+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用 11

一句话总结

本文引入了一个三参数线性变换 $τ_{δ,β}$，用于具有单边跳跃的谱负 Lévy 过程的 Laplace 指数，该变换推广了 Esscher 变换。它建立了与 scale 函数、指数泛函以及正自相似马尔可夫过程之间的联系，通过 intertwining 和特征函数关系，推导出涉及超几何函数和 Mittag-Leffler 型函数的新恒等式。

ABSTRACT

The aim of this work is to extend and study a family of transformations between Laplace exponents of Lévy processes which have been introduced recently in a variety of different contexts by Patie, Kyprianou and Patie, and, Gnedin, as well as in older work of Urbanik . We show how some specific instances of this mapping prove to be useful for a variety of applications.

研究动机与目标

• 将具有单边跳跃的谱负 Lévy 过程的 Laplace 指数之间的变换族进行推广与研究。
• 统一并推广来自波动理论、指数泛函以及正自相似马尔可夫过程的现有结果。
• 建立一个参数变换 $τ_{δ,β}$，该变换将 Laplace 指数映射到自身，并揭示新的结构恒等式。
• 将变换与半群的特征函数联系起来，并推导出涉及超几何函数和 Mittag-Leffler 函数的新表示形式。

提出的方法

• 定义变换 $\mathcal{T}_{\delta,\beta}\psi(u) = \frac{u+\beta-\delta}{u+\beta}\psi(u+\beta) - \frac{\beta-\delta}{\beta}\psi(\beta)$，其中 $u \geq -\beta$，该变换推广了 Esscher 变换。
• 证明该变换是线性的，并且在复合下封闭：$\mathcal{T}_{\gamma} \circ \mathcal{T}_{\beta} = \mathcal{T}_{\gamma+\beta}$，其中 $\mathcal{T}_{\beta} = \mathcal{T}_{\beta,\beta}$。
• 通过正自相似马尔可夫过程的半群与其生成元之间的 intertwining 关系，推导出特征函数恒等式。
• 定义整函数 $\mathcal{I}_{\psi}(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n(\psi) z^n$，其中 $a_n(\psi)^{-1} = \prod_{k=1}^n \psi(k)$，并证明 $\mathcal{I}_{\psi}$ 是生成元 $\mathbf{L}^\psi$ 的 1-特征函数。
• 将该变换应用于推导恒等式，如 $\mathbf{D}^{\theta,\delta}\mathcal{I}_{\psi_\theta}(x) = \mathcal{I}_{\mathcal{T}_{\delta,\theta}\psi}(x)$，将分数阶导数与变换后的 Laplace 指数联系起来。
• 通过 Wright 超几何函数 ${}_2F_2$ 和 Mittag-Leffler 函数推导出显式例子，表明 $\Gamma(\alpha)\mathbf{D}^{\theta,\delta}\mathcal{E}_{\alpha,\alpha}(x) = {}_2F_2(\cdots)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造具有单边跳跃的谱负 Lévy 过程 Laplace 指数的广义变换，以统一现有的波动恒等式与指数泛函结果？
• RQ2 变换 $\mathcal{T}_{\delta,\beta}$ 在联系正自相似马尔可夫过程半群的特征函数中起什么作用？
• RQ3 变换后的 Laplace 指数 $\mathcal{T}_{\delta,\beta}\psi$ 如何与 Mittag-Leffler 函数和超几何函数等已知特殊函数相关联？
• RQ4 该变换能否用于推导 Lévy 过程的 scale 函数与指数泛函的新表达式？
• RQ5 在何种条件下，该变换能保持底层 Lévy 过程的结构，并允许建立特征函数恒等式？

主要发现

• 变换 $\mathcal{T}_{\delta,\beta}$ 将谱负 Lévy 过程的 Laplace 指数映射到自身，并推广了 Esscher 变换。
• 对于 $\psi(u) = (\alpha u)_\alpha$，证明了 $\mathcal{I}_{\psi_{1/\alpha}}(x) = \Gamma(\alpha)\mathcal{E}_{\alpha,\alpha}(x)$ 是生成元 $\mathbf{L}^\psi$ 的 1-特征函数，从而将其与 Mittag-Leffler 函数联系起来。
• 在 $\delta < \theta + 1$ 条件下，建立了恒等式 $\mathbf{D}^{\theta,\delta}\mathcal{I}_{\psi_\theta}(x) = \mathcal{I}_{\mathcal{T}_{\delta,\theta}\psi}(x)$，将分数阶导数与变换后的 Laplace 指数联系起来。
• 对于 $\psi(u) = u^\alpha$，推导出 $\mathcal{I}_{\psi}(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\Gamma^\alpha(n+1)}x^n$，且当 $\delta < 1$ 时，有 $\mathbf{D}^{1,\delta}\mathcal{I}_{\psi}(x) = \mathcal{I}_{\mathcal{T}_{\delta,0}\psi}(x)$ 成立，变换后的函数以 $\Gamma$-比值形式表达。
• 推导出显式的超几何恒等式：$\Gamma(\alpha)\mathbf{D}^{\theta,\delta}\mathcal{E}_{\alpha,\alpha}(x) = {}_2F_2\left(\left.\begin{array}{c}(1,1/\alpha+1),(1,1)\\(1,1/\alpha+1-\delta),(\alpha,\alpha)\end{array}\right|x\right)$。
• 该变换保持了相关随机变量 $J_{\psi_\theta}$ 的矩确定性，从而确保了所推导的级数表示与函数恒等式的有效性。