[论文解读] A Trichotomy in the Complexity of Counting Answers to Conjunctive Queries

Hubie Chen, Stefan Mengel|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2014

Data Management and Algorithms参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文建立了针对可判定性查询（CQ）计数答案复杂度的三叉定理，表明对于任意一组有界arity的可判定性查询，该问题要么是可 tractable 的，要么等价于参数化Clique问题，要么与参数化#Clique问题一样困难。该分类基于图论性质——特别是核心的树宽和自由变量的超图——统一了先前针对布尔型和无量词查询的二分结果。

ABSTRACT

Conjunctive queries are basic and heavily studied database queries; in relational algebra, they are the select-project-join queries. In this article, we study the fundamental problem of counting, given a conjunctive query and a relational database, the number of answers to the query on the database. In particular, we study the complexity of this problem relative to sets of conjunctive queries. We present a trichotomy theorem, which shows essentially that this problem on a set of conjunctive queries is either tractable, equivalent to the parameterized CLIQUE problem, or as hard as the parameterized counting CLIQUE problem; the criteria describing which of these situations occurs is simply stated, in terms of graph-theoretic conditions.

研究动机与目标

• 对所有有界arity查询集合的可判定性查询（CQ）的参数化计数复杂度进行分类。
• 将先前针对布尔型和无量词CQ的二分结果统一并推广为一个完整、综合的三叉分类。
• 识别出精确的图论条件——特别是查询核心和自由变量超图的有界树宽——以决定可 tractable 性或困难性。
• 将案例复杂度框架扩展至计数问题，从而在参数化复杂度中实现透明的分析。
• 解决计数CQ问题的有界arity情况，留下未bounded-arity和更表达性查询语言扩展的开放问题。

提出的方法

• 引入一种新的可判定性查询核心概念，该概念考虑了自由变量，这对分类至关重要。
• 定义可判定性查询的超图，其中顶点为自由变量，边为关系，以支持结构分析。
• 使用树宽作为核心图论度量来分类复杂度：核心的树宽有界意味着可 tractable。
• 当查询集合的自由变量超图具有无界树宽时，建立从#Clique到#CQ的计数切片归约。
• 证明当核心具有无界树宽但超图具有有界树宽时，#CQ与参数化Clique问题相互归约。
• 利用已知的同态计数和查询包含结果，将新框架与现有复杂度类联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界arity下，计数可判定性查询答案的完整复杂度分类是什么？
• RQ2 查询核心的树宽与自由变量超图的树宽如何共同决定#CQ的复杂度？
• RQ3 布尔型和无量词可判定性查询的先前二分结果能否被统一在一个三叉分类下？
• RQ4 是否存在一个自然的参数化复杂度框架，能够捕捉可判定性查询评估中的计数复杂度？
• RQ5 该分类对更表达性查询语言或无界arity设置有何影响？

主要发现

• 对于任意一组有界arity的可判定性查询，其计数问题#CQ恰好属于以下三类复杂度之一：可 tractable，等价于参数化Clique问题，或与参数化#Clique问题一样困难。
• 可 tractable 性当且仅当该集合中查询的核心具有有界树宽。
• 当核心具有无界树宽但自由变量超图具有有界树宽时，#CQ与参数化Clique问题相互归约。
• 当核心和超图均具有无界树宽时，存在从#Clique到#CQ的计数切片归约，意味着其困难性等价于#Clique。
• 该三叉定理推广并包含了Grohe（针对布尔型CQ）和Dalmau与Jonsson（针对无量词CQ）的先前二分结果。
• 该框架具有鲁棒性和可扩展性，为参数化复杂度中计数复杂度的分析提供了透明的方法。