[论文解读] A Triple-Error-Correcting Cyclic Code from the Gold and Kasami-Welch APN Power Functions

Xiangyong Zeng, Jinyong Shan+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 19被引用 4

一句话总结

该论文构造了一个新的三错误可纠正二元循环码 $\tilde{\mathrm{C}}_{1,3,13}$，其长度为 $2^m - 1$，其中 $m \geq 5$ 为奇数，由零点 $\beta$、$\beta^3$ 和 $\beta^{13}$ 定义，$\beta$ 是 $\mathrm{GF}(2^m)$ 中的本原元。该码源自 Gold 函数 ($x^3$) 和 Kasami-Welch 函数 ($x^{13}$) 的几乎完美非线性 (APN) 幂函数，并被证明具有与经典原始 BCH 码 $\tilde{\mathrm{C}}_{1,3,5}$ 相同的重量分布，从而确立了其在纠错能力和谱特性方面的最优性。

ABSTRACT

Based on a sufficient condition proposed by Hollmann and Xiang for constructing triple-error-correcting codes, the minimum distance of a binary cyclic code $\mathcal{C}_{1,3,13}$ with three zeros $α$, $α^3$, and $α^{13}$ of length $2^m-1$ and the weight divisibility of its dual code are studied, where $m\geq 5$ is odd and $α$ is a primitive element of the finite field $\mathbb{F}_{2^m}$. The code $\mathcal{C}_{1,3,13}$ is proven to have the same weight distribution as the binary triple-error-correcting primitive BCH code $\mathcal{C}_{1,3,5}$ of the same length.

研究动机与目标

• 构造一个长度为 $2^m - 1$ 的新三错误可纠正二元循环码，其中 $m \geq 5$ 为奇数。
• 识别由 Gold 和 Kasami-Welch APN 幂函数 $x^3$ 与 $x^{13}$ 衍生出的码参数。
• 证明码 $\mathcal{C}_{1,3,13}$ 的重量分布与著名的原始 BCH 码 $\mathcal{C}_{1,3,5}$ 相同。
• 验证 $\mathcal{C}_{1,3,13}$ 的对偶码的重量可被 $2^{(m-1)/2}$ 整除，满足 Hollmann 和 Xiang 关于重量分布等价性的充分条件。
• 将已知的具有相同重量分布的码类扩展，以包含由不同 APN 函数族导出的新一对 APN 指数。

提出的方法

• 利用 Hollmann 和 Xiang 的充分条件：若一个长度为 $2^m - 1$ 的二元循环码的最小距离 $\geq 7$，且其对偶码的重量可被 $2^{(m-1)/2}$ 整除，则其重量分布与 $\mathcal{C}_{1,3,5}$ 相同。
• 将对偶码 $\mathcal{C}_{1,3,13}^\perp$ 分析为向量集合 $\left(\mathrm{Tr}^m_1(\epsilon x + \gamma x^3 + \delta x^{13})\right)_{x \in \mathbb{F}_{2^m}^*}$，其中 $\epsilon, \gamma, \delta \in \mathbb{F}_{2^m}$。
• 使用 MacWilliams 恒等式，通过比较其对偶码的重量分布，将 $\mathcal{C}_{1,3,13}$ 与 $\mathcal{C}_{1,3,5}$ 的重量分布关联起来。
• 对 $m = 5, 7, 9, 11$ 进行全面的计算实验，测试所有已知的 APN 指数对，识别出 $(d_1, d_2) = (3,13)$ 为一个新的有效对。
• 应用涉及系数的 2-adic 赋值和分圆等价性的代数技术，以界定某些线性组合的最大重量。
• 通过推广文献 [17] 中的一个结果的广义版本，证明 $M(m;3,13) = (m - \gcd(m,r))/2$，从而确认对偶码中码字最大可能重量的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 二元循环码 $\mathcal{C}_{1,3,13}$，其零点为 $\alpha$、$\alpha^3$、$\alpha^{13}$，是否具有至少为 7 的最小距离？
• RQ2 对偶码 $\mathcal{C}_{1,3,13}^\perp$ 是否对所有奇数 $m \geq 5$ 都具有可被 $2^{(m-1)/2}$ 整除的重量？
• RQ3 $\mathcal{C}_{1,3,13}$ 是否具有与原始 BCH 码 $\mathcal{C}_{1,3,5（}$ 相同的重量分布？
• RQ4 由 Gold 和 Kasami-Welch APN 函数导出的指数对 $(3,13)$ 是否能生成一个新的三错误可纠正码，且其重量分布与 $\mathcal{C}_{1,3,5}$ 相同？
• RQ5 是否存在其他超出已知构造的 APN 指数对，可产生与 $\mathcal{C}_{1,3,5}$ 具有相同重量分布的码？

主要发现

• 证明了码 $\mathcal{C}_{1,3,13}$ 的最小距离恰好为 7，满足三错误可纠正的要求。
• 对偶码 $\mathcal{C}_{1,3,13}^\perp$ 的所有重量均可被 $2^{(m-1)/2}$ 整除，满足 Hollmann 和 Xiang 准则中的关键条件。
• 通过 MacWilliams 恒等式及对 $m = 5, 7, 9, 11$ 的计算验证，确认 $\mathcal{C}_{1,3,13}$ 的重量分布与经典原始 BCH 码 $\mathcal{C}_{1,3,5}$ 完全相同。
• $(d_1, d_2) = (3,13)$ 这一指数对为新发现的有效对，无法用先前的构造（如 $\{2^r+1, 2^{3r}+1\}$ 或 $\{2^{(m+1)/2}+1, (2^{(m+1)/2}+1)^2\}$）解释，并在表 3 中以 $\bigstar$ 标记为新发现。
• 线性组合 $\mathrm{Tr}^m_1(\epsilon x + \gamma x^3 + \delta x^{13})$ 的最大重量 $M(m;3,13)$ 被证明为 $k = (m - \gcd(m,r))/2$，与 $M(m;3)$ 的界一致，从而确认了该界的紧致性。
• 该构造可推广至其他 APN 函数：若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上的不同 APN 函数，则由对偶码 $\mathcal{C}^\perp = \{ \mathrm{Tr}^m_1(\epsilon x + \gamma f(x) + \delta g(x)) \}$ 定义的码，在类似条件下可能产生新的具有相同重量分布的码。