[论文解读] A trust-region SQP method for the numerical approximation of viscoplastic fluid flow

Timm Treskatis, Miguel Moyers-González+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Rheology and Fluid Dynamics Studies参考文献 34被引用 3

一句话总结

本文提出一种信赖域序列二次规划（TR-SSQP）方法，用于通过基于应力的对偶变量重新表述粘塑性流体流动问题，从而实现更高阶的正则性与更优的收敛性。该方法优于广泛使用的增广拉格朗日法（ALG2），在无人工正则化或网格依赖性的情况下，对Herschel-Bulkley流体的模拟实现了高达140倍的CPU时间加速。

ABSTRACT

We present a new approach to the problem of stationary viscoplastic duct flow as modelled by the Herschel-Bulkley model, with Bingham fluids included as a special case. While the mathematical formulation of this problem is conventionally based on a variational inequality, or equivalently, on a nonsmooth minimisation problem for the flow velocity, we suggest an alternative approach. Considering the Lagrangian dual in terms of the stress, rather than the velocity, turns out to be advantageous in numerous ways. The objective functional possesses higher regularity, which ensures applicability of second order methods. Our numerical experiments with a trust-region SQP algorithm also demonstrate clearly superior performance compared to the widely used augmented Lagrangian method, although no artificial regularisation is introduced into the problem. Hence, besides providing a new theoretical angle to a classical problem, our results also pave the way for an entirely new class of numerical approaches to simulating flows of viscoplastic fluids.

研究动机与目标

• 为解决模拟粘塑性流体流动时出现的数值挑战，特别是由屈服应力行为引起的非光滑性和病态性。
• 克服传统增广拉格朗日方法的局限性，后者因收敛缓慢且对算法参数敏感而表现不佳。
• 开发一种鲁棒的二阶方法，利用粘塑性流动问题对偶形式中的更高正则性。
• 提供一种新的数值框架，精确捕捉塑性行为，无需引入人工粘度或正则化。
• 在Bingham和Herschel-Bulkley流动场景中，显著提升相对于ALG2的计算性能。

提出的方法

• 采用基于应力的对偶公式替代经典的基于速度的变分不等式，对粘塑性流动问题进行重新表述，从而获得更平滑的目标泛函。
• 使用有限元法对对偶问题进行离散化，得到有限维优化问题。
• 应用信赖域序列二次规划（TR-SSQP）算法求解所得的平滑约束优化问题。
• 采用信赖域框架以确保全局收敛性和鲁棒性，即使在海塞矩阵近似不佳时亦然。
• 结合精确线搜索与信赖域更新，实现无需内迭代的超线性收敛。
• 避免引入人工正则化或粘度，以保持粘塑性行为的物理真实性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于应力变量的对偶公式是否相比经典的速度基公式，能带来更平滑的优化问题？
• RQ2 信赖域SQP方法在粘塑性流动中是否相比增广拉格朗日法（ALG2）具有更快的收敛速度和更优性能？
• RQ3 所提出的TR-SSQP方法在Bingham和Herschel-Bulkley流体中，其性能如何随网格细化和屈服应力的变化而变化？
• RQ4 该方法是否能在不引入人工正则化或粘度的情况下保持鲁棒性和高效性？
• RQ5 流体流变特性（如剪切稀化指数α）对TR-SSQP算法收敛行为有何影响？

主要发现

• 对于α = 1.5的Herschel-Bulkley流动，信赖域SQP（TRS）方法相比ALG2实现了高达140倍的加速，尤其在细密网格上表现显著。
• 当α = 1.5且τ₀ = 0.1时，TRS在4308个单元的网格上仅需17秒CPU时间，而ALG2需116.62秒，加速比达114倍。
• TRS方法在网格细化和较低屈服应力条件下，迭代次数持续减少，表明在更具挑战性的条件下效率更高。
• 该方法在非对称几何结构中仍保持优异性能，例如在kiwi管道几何中实现高达6.7倍的加速。
• TRS与ALG2解之间的相对差异始终低于1e-3，证实了即使在更快收敛下，解的精度依然可靠。
• TRS方法表现出网格无关性和鲁棒的收敛性，无需参数调优或内迭代，而ALG2则需依赖此类调整。