[论文解读] A two-dimensional high-order well-balanced scheme for the shallow water equations with topography and Manning friction

Victor Michel-Dansac, Christophe Berthon+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 77被引用 7

一句话总结

本文提出了一种用于含地形和曼宁摩擦的浅水方程的二维高阶平衡有限体积格式，通过稳态检测器控制的凸组合，将高阶多项式重构与平衡的一阶格式相结合。该方法在光滑区域保持高阶精度，同时精确保持移动稳态，并通过MOOD过程确保数值鲁棒性，已在真实海底地形数据上准确模拟了2011年日本海啸。

ABSTRACT

We develop a two-dimensional high-order numerical scheme that exactly preserves and captures the moving steady states of the shallow water equations with topography or Manning friction. The high-order accuracy relies on a suitable polynomial reconstruction, while the well-balancedness property is based on the first-order scheme from Michel-Dansac et. al., 2016 and Michel-Dansac et. al., 2017, extended to two space dimensions. To get both properties, we use a convex combination between the high-order scheme and the first-order well-balanced scheme. By adequately choosing the convex combination parameter following a very simple steady state detector, we ensure that the resulting scheme is both high-order accurate and well-balanced. The method is then supplemented with a MOOD procedure to eliminate the spurious oscillations coming from the high-order polynomial reconstruction and to guarantee the physical admissibility of the solution. Numerical experiments show that the scheme indeed possesses the claimed properties. The simulation of the 2011 Japan tsunami, on real data, further confirms the relevance of this technique.

研究动机与目标

• 开发一种高阶数值格式，精确保持含地形和曼宁摩擦的二维浅水流中的移动稳态。
• 在光滑区域实现高阶精度的同时，保持良好的平衡性——特别是针对非平凡稳态。
• 通过防止虚假振荡并保持水深非负，确保数值鲁棒性。
• 在真实世界数据上验证该格式，包括2011年日本海啸，展示其在复杂地形上的精度与稳定性。

提出的方法

• 通过稳态检测器动态调节的凸组合，将高阶重构与一阶平衡格式结合，组合参数实时调整。
• 采用高阶多项式重构，在光滑区域实现二阶和三阶精度。
• 应用MOOD（多维最优阶检测）过程，检测并消除高阶重构引起的虚假振荡。
• 在Godunov型有限体积框架中引入源项，对地形和曼宁摩擦项进行精确处理，确保平衡性。
• 提出一种新颖的稳态检测器，根据局部流场条件在高阶与平衡模式之间切换。
• 采用有限体积离散化，使用Rusanov型数值通量和源项平衡，以维持平衡性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种高阶有限体积格式，精确保持含地形和曼宁摩擦的二维浅水流中的移动稳态？
• RQ2 如何在保持非平凡稳态（包括含摩擦的稳态）平衡性的同时，维持高阶精度？
• RQ3 高阶重构对数值振荡有何影响？如何在不牺牲精度或鲁棒性的前提下控制这些振荡？
• RQ4 该格式在具有极端地形梯度的真实海底地形数据（如2011年日本海啸）上的表现如何？
• RQ5 高阶格式的计算成本是否由实际海啸模拟中精度的提升所合理化？

主要发现

• PWB1格式（二阶平衡）的计算结果与一阶P0格式相当，但数值耗散显著降低，且波结构分辨率更优。
• PWB3格式（三阶平衡）未能达到预期精度，因极端地形梯度触发了过度的MOOD稳定化，导致解与一阶格式相似。
• PWB1格式正确捕捉了海啸传播时间，且无虚假振荡，证明了其有效的平衡性与鲁棒性。
• P0与PWB1格式均与物理传感器数据吻合良好，PWB1在波形到达时间与振幅上优于P0。
• 在约1300万个单元的真实海底地形上的模拟表明，该格式能正确处理大尺度地形梯度，特别是在堪察加海沟附近。
• PWB1的计算成本约为P0的2.5倍，PWB3约为P0的10倍，表明在复杂网格上精度与效率之间存在权衡。