[论文解读] A two-grid method for the $C^0$ interior penalty discretization of the Monge-Ampère equation

Gerard Awanou, Hengguang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 2被引用 1

一句话总结

本文提出了一种两网格方法，用于高效求解C⁰内部惩罚有限元离散化Monge-Ampère方程所产生的非线性系统。通过在粗网格上求解非线性系统，并将该解作为细网格上一次牛顿迭代的初始猜测，该方法实现了拟最优的W¹,∞误差估计，且与在细网格上使用标准牛顿法相比，计算成本显著降低，数值结果验证了其高效性与最优收敛率。

ABSTRACT

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研究动机与目标

• 开发一种高效数值方法，用于求解椭圆型Monge-Ampère方程C⁰内部惩罚离散化所产生的非线性系统。
• 分析一种结合粗网格解与细网格上单次牛顿步的两网格格式的收敛性与误差估计。
• 针对使用三次及更高阶有限元的C⁰内部惩罚方法，建立拟最优的W¹,∞误差估计。
• 通过数值实验，展示该方法的计算效率，并与在细网格上使用标准牛顿法进行比较。

提出的方法

• 该方法采用两网格策略：在粗网格（大小为H）上求解非线性离散系统，然后将该解作为细网格（大小为h）上一次牛顿迭代的初始猜测。
• 粗网格上的解通过牛顿法获得，相对残差的容差设为10⁻⁶。
• 细网格上的牛顿步仅执行一次，与完整的牛顿迭代相比，显著降低了计算成本。
• 该方法利用了离散双线性形式的Fréchet导数结构，其对应于一个具有Hessian矩阵余因子矩阵的线性椭圆算子。
• 误差分析依赖于逆估计、迹不等式以及离散Sobolev嵌入，以界定两网格解与细网格解之间的差异。
• 在假设H = h^λ且λ > max{(k+2+ε)/(2k), 3/(2k−1)}（k ≥3）的条件下，分析了收敛速率，确保了H¹误差的最优收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 两网格方法能否有效应用于C⁰内部惩罚离散化Monge-Ampère方程所产生的非线性系统？
• RQ2 对于高阶有限元，两网格解在W¹,∞范数下的收敛速率与误差估计为何？
• RQ3 两网格方法的计算成本与在细网格上使用标准牛顿法相比如何？
• RQ4 两网格方法是否保持了底层有限元离散化的最优收敛速率？
• RQ5 粗网格到细网格的网格比例λ对方法的精度与效率有何影响？

主要发现

• 两网格方法在使用三次及更高阶有限元的C⁰内部惩罚离散化中，实现了拟最优的W¹,∞误差估计。
• 当H = h^λ且λ > max{(k+2+ε)/(2k), 3/(2k−1)}（k ≥3）时，两网格解的H¹误差以最优速率O(h^k)收敛。
• 两网格方法的计算时间显著低于在细网格上使用牛顿法，且在所有网格细化程度下均观察到加速效果。
• 数值实验验证了P2单元在H¹范数下呈现二阶收敛，P3单元实现最优收敛，尽管理论分析针对的是k ≥3的情况。
• 两网格方法保持了最优收敛速率，且在计算效率上优于在细网格上执行完整牛顿迭代的方法，且不损失收敛速率。
• 在细网格上执行第二次牛顿步可略微提升精度，但不影响收敛速率，表明在一次细网格校正后方法已达到最优。