[论文解读] A two-parameter finite field Erdős-Falconer distance problem

Philipp Birklbauer, Alex Iosevich|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文引入了一个双参数有限域Erdős-Falconer距离问题，研究子集 $E, F \subset \mathbb{F}_q^{k+l}$ 的平方距离集合 $(\|x' - y'\|, \|x'' - y''\|)$。证明了若 $|E||F| > Cq^{k+2l+1}$，则所有距离对均被实现；当 $k$ 为奇数时，此界是紧的。对于 $k=l=2$ 且 $q \equiv 3 \pmod{4}$ 的情形，证明了当 $|E||F| > Cq^{6+2/3}$ 时，有 $|B_{2,2}(E,F)| > cq^2$，且该指数无法低于6。

ABSTRACT

We study the following two-parameter variant of the Erd\H os-Falconer distance problem. Given $E,F \subset {\Bbb F}_q^{k+l}$, $l \geq k \ge 2$, the $k+l$-dimensional vector space over the finite field with $q$ elements, let $B_{k,l}(E,F)$ be given by $$\{(\Vert x'-y'\Vert, \Vert x"-y" \Vert): x=(x',x") \in E, y=(y',y") \in F; x',y' \in {\Bbb F}_q^k, x",y" \in {\Bbb F}_q^l \}.$$ We prove that if $|E||F| \geq C q^{k+2l+1}$, then $B_{k,l}(E,F)={\Bbb F}_q imes {\Bbb F}_q$. Furthermore this result is sharp if $k$ is odd. For the case of $l=k=2$ and $q$ a prime with $q \equiv 3 \mod 4$ we get that for every positive $C$ there is $c$ such that $$ ext{if } |E||F|>C q^{6+\frac{2}{3}} ext{, then } |B_{2,2}(E,F)|> c q^{2}.$$

研究动机与目标

• 将经典的Erdős-Falconer距离问题推广至有限域中的双参数情形。
• 确定集合 $E, F \subset \mathbb{F}_q^{k+l}$ 的最小大小，使得所有可能的距离对 $(\|x'-y'\|, \|x''-y''\|)$ 均被实现。
• 建立 $E$ 和 $F$ 所需大小的紧致或近似紧致界，以保证完整的距离集 $B_{k,l}(E,F) = \mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q$。
• 分析 $k=l=2$ 且在 $q \equiv 3 \pmod{4}$ 条件下的情形，改进实现正比例距离对的大小条件中的指数。

提出的方法

• 使用有限域上的傅里叶分析方法，特别是 $\mathbb{F}_q^d$ 中球面特征函数的傅里叶变换。
• 应用Plancherel恒等式与柯西-施瓦茨不等式来估计距离方程的解数。
• 将傅里叶和分解为三部分：零频率项、两部分均为非零频率的项，以及一个为零一个为非零频率的混合项。
• 采用Fefferman型技巧，通过圆的交点控制 $\mathbb{F}_q^2$ 中球面限制的傅里叶变换的 $L^4$-范数。
• 利用 $SO_2(\mathbb{F}_q)$ 的作用对旋转进行平均，以控制指数和中的抵消效应。
• 应用 $\ell^p$-限制估计与球面大小界，推导出距离集大小的定量估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 集合 $E, F \subset \mathbb{F}_q^{k+l}$ 的最小大小是多少，才能使双参数距离集 $B_{k,l}(E,F)$ 覆盖整个 $\mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q$？
• RQ2 在 $\mathbb{F}_q^2$ 中球面交点的几何结构如何影响双参数情形下距离集的大小？
• RQ3 当 $k$ 为偶数时，特别是 $k=l=2$ 的情形，是否可以改进大小条件 $|E||F| > Cq^{k+2l+1}$ 中的指数？
• RQ4 在什么指数以下，即使 $|E||F|$ 很大，也无法保证 $|B_{2,2}(E,F)|$ 为大？
• RQ5 在 $|E||F| > Cq^{6+2/3} \Rightarrow |B_{2,2}(E,F)| > cq^2$ 的界中，指数 $6 + \frac{2}{3}$ 是否为紧致的，或可进一步改进？

主要发现

• 若 $|E||F| > Cq^{k+2l+1}$，则当 $l \geq k \geq 2$ 时，有 $B_{k,l}(E,F) = \mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q$，且当 $k$ 为奇数时该界是紧致的。
• 对于 $k=l=2$ 且 $q$ 为素数满足 $q \equiv 3 \pmod{4}$ 的情形，若 $|E||F| > Cq^{6+2/3}$，则存在 $c>0$ 使得 $|B_{2,2}(E,F)| > cq^2$，表明实现了正比例的全部距离对。
• 在 $k=l=2$ 的情形下，指数 $6 + \frac{2}{3}$ 无法低于6，因为存在一个构造表明当 $|E| = q^{3-\varepsilon}$ 时，有 $|B(E,E)| = o(q^2)$。
• 当 $k$ 为奇数时，$|E||F| > Cq^{k+2l+1}$ 的界在常数 $C$ 的意义下是最优的，这由一个匹配的下界构造所证明。
• 证明依赖于傅里叶限制估计与球面交点几何，特别是 $\mathbb{F}_q^2$ 中两个不同圆最多交于两点的事实。
• 该方法即使在无法实现整个 $\mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q$ 的情形下，也能通过 $\ell^p$-限制估计与旋转平均，给出距离集大小的非平凡下界。