[论文解读] A two-player version of the assignment problem

Florian Galliot, Nacim Oijid+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2026

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一句话总结

本文介绍了竞争性（两人）分配问题：两名玩家轮流挑选智能体，随后在各自集合上解决独立的分配问题；证明了 PSPACE 完全性并分析了受限智能体效率下的可处理性。

ABSTRACT

We introduce the competitive assignment problem, a two-player version of the well-known assignment problem. Given a set of tasks and a set of agents with different efficiencies for different tasks, Alice and Bob take turns picking agents one by one. Once all agents have been picked, Alice and Bob compute the optimal values $s_A$ and $s_B$ for the assignment problem on their respective sets of agents, i.e. they assign their own agents to tasks (with at most one agent per task and at most one task per agent) so as to maximize the sum of the efficiencies. The score of the game is then defined as $s_A-s_B$. Alice aims at maximizing the score, while Bob aims at minimizing it. This problem can model drafts in sports and card games, or more generally situations where two entities fight for the same resources and then use them to compete against each other. We show that the problem is PSPACE-complete, even restricted to agents that have at most two nonzero efficiencies. On the other hand, in the case of agents having at most one nonzero efficiency, the problem lies in XP parameterized by the number of tasks, and the optimal score can be computed in linear time when there are only two tasks.

研究动机与目标

• 对两名玩家轮流挑选智能体以便后续独立分配问题的建模。
• 刻画判定最佳分数是否达到阈值的计算复杂度。
• 研究在分配博弈中的结构性质与策略原则。
• 将该问题与已知的博弈框架联系起来，并识别可处理的特殊情况。

提出的方法

• 形式化定义带有 t 维效率向量的智能体的 draft 博弈。
• 将分数定义为两次独立最优分配值在选拔后之差。
• 将博弈归入 Milnor 的宇宙与 Maker-Breaker 博弈框架，以推导如非胁迫（nonzugzwang）等性质。
• 证明一般情形下即使每个智能体最多只有两个非零效率，仍然 PSPACE 完全。
• 识别可处理的情形：OTP/TT P 限制，并在每个智能体至多只有一个非零效率时分析复杂度。
• 给出支配引理与化简技术，以研究在受限维度下的最优移动。

实验结果

研究问题

• RQ1 在每个智能体最多有两个非零效率时，draft 博弈是否 PSPACE 完全？
• RQ2 当智能体最多只有一个非零效率时，计算复杂度如何？
• RQ3 在 draft 博弈中，主导性、均值、非胁迫等策略原则如何支配最优对局？
• RQ4 是否存在可识别的可处理特殊情况或针对小任务数量的参数化结果？
• RQ5 draft 博弈在 Maker-Breaker 和 Milnor 的宇宙框架下，与博弈性质之间有何关系？

主要发现

• DraftGame 即使每个智能体最多只有两个非零效率也 PSPACE 完全。
• 当智能体最多只有一个非零效率时，问题在参数化任务数下属于 XP 类，且对两个任务有线性时间解。
• draft 博弈属于 Milnor 的宇宙，具有非胁迫和二元性等性质。
• 若干支配与化简引理为在受限维度下的最优移动与最优策略结构提供指导。
• 对于两个任务，存在一个支配性移动，使某智能体在至少一个任务上产生最大影响；但此结论不推广到三个任务。
• 博弈在起始位置的多重拷贝的均值为零，表明基线是平衡的。