[论文解读] A Two Stage CVT / Eikonal Convection Mesh Deformation Approach for Large Nodal Deformations

Stephan Schmidt|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Computer Graphics and Visualization Techniques参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文提出一种用于大规模节点形状优化的两阶段网格变形方法，结合了基于质心Voronoi镶嵌（CVT）的表面参数化与基于Eikonal方程的光线追踪技术，实现鲁棒的体积网格变形。该方法通过将CVT步骤嵌入形状梯度核函数中，并利用Eikonal方程计算光线方向，从而在不进行重划分网格的情况下保持网格质量，成功实现了2D和3D Navier–Stokes流场中的无重划分优化，分别使目标函数降低8.0%和32.8%。

ABSTRACT

A two step mesh deformation approach for large nodal deformations, typically arising from non-parametric shape optimization, fluid-structure interaction or computer graphics, is considered. Two major difficulties, collapsed cells and an undesirable parameterization, are overcome by considering a special form of ray tracing paired with a centroid Voronoi reparameterization. The ray direction is computed by solving an Eikonal equation. With respect to the Hadamard form of the shape derivative, both steps are within the kernel of the objective and have no negative impact on the minimizer. The paper concludes with applications in 2D and 3D fluid dynamics and automatic code generation and manages to solve these problems without any remeshing. The methodology is available as a FEniCS shape optimization add-on at http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~schmidt/femorph.

研究动机与目标

• 解决大规模节点形变过程中形状优化带来的网格质量下降与参数化不良问题。
• 在流固耦合与非参数化形状优化中保持网格质量并避免重划分网格。
• 在不损害最优性的情况下，将表面网格质量控制集成到形状梯度框架中。
• 利用基于Eikonal的光线追踪技术，实现对复杂、大形变的鲁棒体积网格变形。
• 在2D和3D不可压缩Navier–Stokes形状优化中，展示该方法在无重划分条件下的有效性。

提出的方法

• 采用两阶段方法：首先，基于CVT的切向校正步骤通过最小化来自质心Voronoi镶嵌的网格质量差，改善表面节点分布。
• 将CVT步骤嵌入Hadamard形状梯度的核函数中，确保其不影响解的最优性。
• 其次，求解Eikonal方程以计算从边界到体积分区的光线方向，实现基于光线追踪的鲁棒网格变形。
• 通过求解带有风向（由Eikonal解导出）的对流-扩散方程，实现体积网格变形，确保边界运动的平滑传播。
• 采用FEniCS实现自动有限元离散化与牛顿求解器，利用Laplace-Beltrami算子近似减少Hessian矩阵，以实现稳定下降。
• 在每次形状更新步骤中，通过投影强制实施几何与体积约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 无重划分方法是否能在大规模节点形变的形状优化中保持网格质量？
• RQ2 如何在不破坏形状梯度最优性的情况下改善表面参数化？
• RQ3 基于Eikonal的光线追踪能否为复杂、大形变提供鲁棒的体积网格变形？
• RQ4 基于CVT的切向校正能在多大程度上降低网格质量差，同时保持形状梯度核函数不变？
• RQ5 该两阶段方法是否能成功实现2D和3D Navier–Stokes流场中流体能量耗散的无重划分优化？

主要发现

• 该方法在3D中成功将能量目标函数从266.1282降低至244.9740，相对减少8.0%，且未进行重划分。
• 在2D中，能量目标函数从195.6071降低至131.3547，相对减少32.8%，表现出强劲的收敛性。
• 基于CVT的切向校正步骤有效最小化了网格质量差，改善了表面参数化，且未改变单元连接性。
• 基于Eikonal的光线追踪在大节点位移下仍能实现稳定且平滑的体积网格变形。
• 整个优化过程始终位于Hadamard形状梯度的核函数内部，保持了最优性，并避免了网格敏感性相关问题。
• 该方法成功应用于2D和3D不可压缩Navier–Stokes问题，在整个过程中保持了良好条件的体积单元。