[论文解读] A unification of the coding theory and OAQEC perspective on hybrid codes

Shayan Majidy|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2018

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文統一了編碼理論與算子代數量子錯誤修正（OAQEC）對混合量子-經典錯誤修正碼的觀點，證明兩者等價，且編碼理論是OAQEC的一種特殊情況。本文將量子漢明界推廣至混合碼，揭示非平凡混合碼必須是退化的，並構造了一個具體的4量子比特非退化混合碼，可傳輸一個量子比特與一個經典比特，具備單錯誤檢測能力。

ABSTRACT

There is an advantage in simultaneously transmitting both classical and quantum information over a quantum channel compared to sending independent transmissions. The successful implementation of simultaneous transmissions of quantum and classical information will require the development of hybrid quantum-classical error-correcting codes, known as hybrid codes. The characterization of hybrid codes has been performed from a coding theory perspective and an operator algebra quantum error correction (OAQEC) perspective. First, we demonstrate that these two perspectives are equivalent and that the coding theory characterization is a specific case of the OAQEC model. Second, we include a generalization of the quantum Hamming bound for hybrid error-correcting codes. We discover a necessary condition for developing non-trivial hybrid codes -- they must be degenerate. Finally, we construct an example of a non-trivial degenerate 4-qubit hybrid code.

研究动机与目标

• 建立編碼理論與OAQEC對混合碼觀點的等價性，顯示前者是後者的特殊情況。
• 將量子漢明界推廣至混合錯誤修正碼，並推導其參數的約束條件。
• 識別非平凡混合碼存在的必要條件——即必須是退化的。
• 構造一個具體的非平凡4量子比特混合碼，可傳輸一個邏輯量子比特與一個經典比特，具備單錯誤檢測能力。

提出的方法

• 使用OAQEC框架形式化混合碼，將其定義為希爾伯特空間中的子空間，並以經典索引標記不同的量子碼。
• 將編碼理論對混合碼的描述重新表述為OAQEC模型的一種特定實例，從而促進技術上的相互啟發。
• 透過考慮 $M$ 個經典狀態與 $2^k$ 個量子碼字，推廣量子漢明界，得到不等式 $M \sum_{j=0}^{t} \binom{n}{j} 3^j 2^k \leq 2^n$。
• 分析推廣後邊界的影響，顯示非退化混合碼無法在參數上優於對應的量子碼。
• 使用邏輯態 $\ket{\bar{0}}_0 = \ket{0000} + \ket{1111}$ 等，構造一個參數為 $[[4,1:1,2]]$ 的4量子比特混合碼，可檢測所有單量子比特泡利錯誤。
• 透過檢查其在錯誤集合 $\{X_i, Y_i, Z_i, Z_1Z_2, Z_3Z_4\}$ 對 $i=1,2,3,4$ 下的不變性，驗證碼的錯誤檢測能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 編碼理論與OAQEC對混合碼的觀點在數學上是否等價？若等價，它們之間的關係為何？
• RQ2 量子漢明界能否推廣至混合碼？其對碼參數施加了何種約束？
• RQ3 退化是否是非平凡混合碼的必要條件？為何？
• RQ4 能否構造一個在少量量子比特下可物理實現的非平凡混合碼？

主要发现

• 編碼理論與OAQEC對混合碼的觀點是等價的，且前者是後者的特殊情況。
• 混合碼的推廣量子漢明界為 $M \sum_{j=0}^{t} \binom{n}{j} 3^j 2^k \leq 2^n$，此式將標準量子漢明界擴展至包含經典資訊。
• 非平凡混合碼必須是退化的，因為非退化混合碼在參數上無法優於對應的量子碼。
• 明確構造了一個參數為 $[[4,1:1,2]]$ 的4量子比特非平凡混合碼，可檢測所有單量子比特泡利錯誤。
• 所構造的碼可傳輸一個邏輯量子比特與一個經典比特，其邏輯態為 $\ket{\bar{0}}_0 = \ket{0000} + \ket{1111}$，$\ket{\bar{1}}_0 = \ket{0011} - \ket{1100}$，$\ket{\bar{0}}_1 = \ket{0101} + \ket{1010}$，以及 $\ket{\bar{1}}_1 = \ket{1001} - \ket{0110}$。
• 該碼可在現有量子硬體上物理實現，因其類似態已在核磁共振實驗中成功制備。