[论文解读] A unified approach to exact solutions of time-dependent Lie-algebraic quantum systems

Jian Qi Shen, Hong Yi Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2003

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 13

一句话总结

本文提出了一种统一框架，利用Lewis-Riesenfeld不变量理论及与不变量相关的幺正变换，求解具有三生成元李代数结构的时变量子系统的精确解。该方法推导出显式的时间演化算符和几何相位，突破绝热极限，涵盖非循环、非绝热情形，并表明即使在缺乏准代数结构的系统中，通过限制到守恒不变量的子希尔伯特空间，仍可获得精确解。

ABSTRACT

By using the Lewis-Riesenfeld theory and the invariant-related unitary transformation formulation, the exact solutions of the {\it time-dependent} Schrödinger equations which govern the various Lie-algebraic quantum systems in atomic physics, quantum optics, nuclear physics and laser physics are obtained. It is shown that the {\it explicit} solutions may also be obtained by working in a sub-Hilbert-space corresponding to a particular eigenvalue of the conserved generator ({\it i. e.}, the {\it time-independent} invariant) for some quantum systems without quasi-algebraic structures. The global and topological properties of geometric phases and their adiabatic limit in time-dependent quantum systems/models are briefly discussed.

研究动机与目标

• 开发一种统一方法，求解具有三生成元李代数哈密顿量的时变薛定谔方程的量子系统。
• 将Lewis-Riesenfeld不变量理论与幺正变换形式化推广至原子、光学和核物理中的时变系统。
• 证明即使在缺乏准代数结构的系统中，通过限制到守恒不变量的子希尔伯特空间，仍可获得精确解。
• 提供时间演化算符与几何相位的显式表达式，包括非绝热与非循环情形。
• 建立一个适用于量子光学与激光物理中SU(2)、SU(3)及其他李代数结构的通用框架。

提出的方法

• 利用Lewis-Riesenfeld不变量理论，识别与时变哈密顿量相关的时不变不变量。
• 应用与不变量相关的幺正变换，将时变不变量映射为时不变形式，从而实现显式解的构造。
• 通过将薛定谔方程变换为可解形式，并利用不变量的本征态，以闭合形式构造时间演化算符。
• 即使在完整系统缺乏准代数结构时，也工作于对应于守恒生成元特定本征值的子希尔伯特空间。
• 通过时间有序演化推导几何相位，揭示其闭合性与拓扑性质。
• 将该形式化方法应用于具体模型：自旋系统、两耦合谐振子、Jaynes-Cummings模型及多光子跃迁。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为所有三生成元李代数结构的时变量子系统，发展一种统一的求解方法？
• RQ2 如何通过守恒不变量在缺乏准代数结构的时变系统中获得精确解？
• RQ3 与不变量相关的幺正变换在推导显式时间演化算符时，其作用为何，相较于形式时间有序积有何优势？
• RQ4 该形式化方法中，几何相位（包括绝热与非绝热情形）如何在时变系统中自然涌现？
• RQ5 该方法能否推广至具有超过三个生成元或不同李代数的系统？

主要发现

• 基于时不变不变量的幺正变换，以显式闭合形式推导出时变李代数系统的时间演化算符。
• 在非绝热与非循环情形下，获得了时变系统中的几何相位，作为Berry相位的推广，后者为其特例。
• 对于缺乏准代数结构的系统，通过限制到守恒生成元的子希尔伯特空间，仍可获得精确解。
• 该方法成功求解了子希尔伯特空间中与不变量$N'$相关的时变超对称多光子Jaynes-Cummings模型。
• 该形式化方法可统一应用于SU(2)、SU(3)及其他李代数，覆盖量子光学、原子物理与核物理中的各类系统。
• 该方法以物理直观、解析可处理的表达式，取代了形式时间有序积的解法，分别给出了动力学与几何相位的显式表达。