[论文解读] A unified approach to the theory of separately holomorphic mappings

Viêt‐Anh Nguyên|ArXiv.org|Apr 6, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文提出了一套统一框架，通过Poletsky的全纯盘理论、Rosay的全纯盘定理以及广义相对极值函数，实现复解析空间之间分别全纯映射的延拓。关键贡献在于：在边界情形下，提出了一种新的交叉集合全纯包络，其特征由多重次调和容量与密度点决定，将经典交叉定理推广至高维及奇异情形，且不依赖于Bergman型正交基。

ABSTRACT

We extend the theory of separately holomorphic mappings between complex analytic spaces. Our method is based on Poletsky theory of discs, Rosay Theorem on holomorphic discs and our recent joint-work with Pflug on cross theorems in dimension 1. It also relies on our new technique of conformal mappings and a generalization of Siciak's relative extremal function. Our approach illustrates the unified character: ``From local informations to global extensions". Moreover, it avoids systematically the use of the classical method of doubly orthogonal bases of Bergman type.

研究动机与目标

• 发展复解析空间之间分别全纯映射的统一全纯延拓理论。
• 解决在内部与边界情形下交叉集合的全纯包络问题。
• 将经典交叉定理（如Hartogs、Siciak、Gonchar）推广至高维复流形与奇异边界集。
• 消除对经典Bergman型双重正交基的依赖，代之以几何与测度论方法。
• 利用密度点与多重次调和极值函数，建立最优延拓域。

提出的方法

• 利用Poletsky的全纯盘理论，通过目标空间中的解析盘刻画全纯延拓。
• 应用Rosay的全纯盘定理，控制边界行为并确保延拓域的正则性。
• 引入Siciak相对极值函数的广义版本，结合多重次调和测度与密度点。
• 采用局部多重全纯正则集与密度点（A′, B′）的概念，定义最优延拓域。
• 将全纯包络定义为相对极值函数之和的下水平集：ω(z,A′,D) + ω(w,B′,G) < 1。
• 使用锥形逼近区域与A-极限概念，确保边界正则性与延拓的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有边界数据的交叉集合上，分别全纯映射的最优延拓域是什么？
• RQ2 经典交叉定理如何推广至高维复流形与奇异边界集？
• RQ3 能否在不依赖Bergman型正交基的前提下刻画全纯包络？
• RQ4 密度点与多重次调和极值函数在确定延拓域中起什么作用？
• RQ5 使用全纯盘理论与拟势方法，如何深化对边界延拓的理解？

主要发现

• 交叉集合W的全纯包络由集合{(z,w) ∈ D×G : ω(z,A′,D) + ω(w,B′,G) < 1}给出，其中A′与B′分别为A与B的密度点集。
• 对于取值于具有Hartogs延拓性质的复解析空间的映射，存在唯一的全纯延拓f̂，其定义域由相对极值函数之和决定。
• 在边界点(ζ,η) ∈ W ∩ W′处，延拓具有A-极限，确保边界正则性与极限连续性。
• 当Z = ℂ时，延拓满足精确估计|f̂(z,w)| ≤ |f|_{A×B}^{1−s} |f|_W^s，其中s = ω(z,A′,D) + ω(w,B′,G)。
• 该方法避免使用双重正交基，为延拓问题提供了更几何化与内在化的处理方式。
• 结果将Gonchar的边界交叉定理推广至高维，并通过密度点分析允许非光滑边界集。