[论文解读] A unified field theory II: Gravity interacting with a Yang-Mills and Higgs field

Claus Gerhardt|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文通过用泊松括号下平均曲率演化导出的波方程替代惠勒-德维特方程，提出了一种引力与杨-米尔斯场及希格斯场耦合的规范化量子化方法。在全局双曲时空 $ Q = (0,\infty) \times \mathcal{S}_0 $ 中，所得方程描述了引力、规范场与希格斯场的相互作用，并在紧致性与曲率条件下建立了质量间隙。

ABSTRACT

We quantize the interaction of gravity with a Yang-Mills and Higgs field using canonical quantization. Similar to the approach in a previous paper we discard the Wheeler-DeWitt equation and express the Hamilton constraint by the evolution equation of the mean curvature of the hypersurfaces in the foliation defined by the Hamiltonian setting. Expressing the time derivative of the mean curvature with the help of the Poisson brackets the canonical quantization of this equation leads to a wave equation in $Q=(0,\infty) imes \cal{S}_o$, where $\cal{S}_o$ is one of the Cauchy hypersurfaces in the Hamiltonian setting. The wave equation describes the interaction of an arbitrary Riemannian metric in $\cal{S}_o$ and a given Yang-Mills and Higgs field. If the metric is complete $Q$ is globally hyperbolic. In case $\cal{S}_o$ is compact we also prove a spectral resolution of the wave equation and establish sufficient conditions guaranteeing a mass gap.

研究动机与目标

• 提出一种不依赖惠勒-德维特定律的引力与杨-米尔斯场及希格斯场耦合的规范量子化框架。
• 通过时空叶层的平均曲率的时间演化，重新表述哈密顿约束。
• 在全局双曲时空 $ Q = (0,\infty) \times \mathcal{S}_0 $ 中推导出一个双曲波方程，其中 $ \mathcal{S}_0 $ 为柯西超曲面。
• 在 $ \mathcal{S}_0 $ 为紧致时，建立波方程谱分解中质量间隙存在的条件。
• 通过乘积 $ u = wv $ 探索本征求解函数作为暗物质与暗能量候选者的物理意义。

提出的方法

• 用哈密顿叶层中时空超曲面平均曲率的时间演化导出的波方程，替代惠勒-德维特定律。
• 利用泊松括号表达平均曲率的时间导数，随后在量子化过程中将泊松括号提升为对易子。
• 在量子化过程中使用泛函导数，确保所得算符在基空间 $ \mathcal{S}_0 $ 上作用，其主要部分为拉普拉斯算符。
• 在 $ Q = (0,\infty) \times \mathcal{S}_0 $ 中推导出包含曲率、杨-米尔斯场、希格斯场与宇宙学项的二阶双曲波方程。
• 在相对紧致子集 $ \varOmega \Subset \mathcal{S}_0 $ 上应用索伯列夫空间 $ H^{1,2}_0(\varOmega) \cap H^{2,2}(\varOmega) $ 中的谱理论，实现谱分解。
• 利用紧致性论证与先验估计（如引理 7.5）证明第一特征值存在正的下界，从而确立质量间隙。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过平均曲率的演化，在不使用惠勒-德维特定律的前提下重新表述量子引力中的哈密顿约束？
• RQ2 在 $ Q = (0,\infty) \times \mathcal{S}_0 $ 中，所得波方程在何种条件下具有明确定义的谱分解？
• RQ3 在何种条件下可保证量化系统谱中存在非零质量间隙？
• RQ4 引力、杨-米尔斯场与希格斯场之间的相互作用如何影响能谱及潜在的暗物质/能量候选者？
• RQ5 由波方程导出的椭圆算符的本征求解函数能否在物理上解释为暗物质或暗能量组分？

主要发现

• 本文在 $ Q = (0,\infty) \times \mathcal{S}_0 $ 中推导出一个双曲波方程，该方程描述了引力、杨-米尔斯场与希格斯场的量子相互作用，其中平均曲率的时间演化为核心动力学变量。
• 波方程显式表达为：$ \frac{1}{32}\frac{n^{2}}{n-1}\ddot{u} - (n-1)t^{2-\frac{4}{n}}\varDelta u - \frac{n}{2}t^{2-\frac{4}{n}}Ru + \alpha_1\frac{n}{8}t^{2-\frac{4}{n}}F_{ij}F^{ij}u + \alpha_2\frac{n}{4}t^{2-\frac{4}{n}}\gamma_{ab}\sigma^{ij}\varPhi^{a}_{i}\varPhi^{b}_{i}u + \alpha_2\frac{n}{2}mt^{2-\frac{4}{n}}V(\varPhi)u + nt^{2}\varLambda u = 0 $。
• 当 $ \mathcal{S}_0 $ 为紧致且希格斯势 $ V $ 满足条件 (7.7) 时，谱问题的第一特征值 $ \mu_0 $ 严格为正，其下界依赖于数据，从而确立质量间隙。
• 若 $ R \leq 0 $ 且 $ R $ 或 $ F_{ij}F^{ij} $ 不恒为零，则约化算符 $ -(n-1)\varDelta v - \frac{n}{2}Rv + \alpha_1\frac{n}{8}F_{ij}F^{ij}v $ 的最小特征值严格为正，确保质量间隙存在。
• 椭圆算符的本征求解函数 $ v $ 被提议作为暗物质的候选者，而 $ w $（时间依赖方程的解）通过 $ u = wv $ 与暗能量相关联。
• 当 $ \mathcal{S}_0 $ 完备时，该构造确保 $ Q $ 的全局双曲性，且谱分解在 $ \mathcal{S}_0 $ 的紧致与相对紧致子集中均成立。