[论文解读] A Unified Framework for Identifiability Analysis in Bilinear Inverse Problems with Applications to Subspace and Sparsity Models

Yanjun Li, Kiryung Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2015

Image and Signal Denoising Methods参考文献 23被引用 29

一句话总结

本文提出了一种统一框架，用于分析双线性逆问题（BIPs）中的可辨识性，重点研究在变换群作用下的唯一性。该框架推导了在子空间和稀疏性约束下可辨识性的必要与充分条件，并将其应用于盲增益与相位校准（BGPC），首次建立了代数意义上的样本复杂度边界，并通过变换群刻画了等价类。

ABSTRACT

Bilinear inverse problems (BIPs), the resolution of two vectors given their image under a bilinear mapping, arise in many applications. Without further constraints, BIPs are usually ill-posed. In practice, properties of natural signals are exploited to solve BIPs. For example, subspace constraints or sparsity constraints are imposed to reduce the search space. These approaches have shown some success in practice. However, there are few results on uniqueness in BIPs. For most BIPs, the fundamental question of under what condition the problem admits a unique solution, is yet to be answered. For example, blind gain and phase calibration (BGPC) is a structured bilinear inverse problem, which arises in many applications, including inverse rendering in computational relighting (albedo estimation with unknown lighting), blind phase and gain calibration in sensor array processing, and multichannel blind deconvolution (MBD). It is interesting to study the uniqueness of such problems. In this paper, we define identifiability of a BIP up to a group of transformations. We derive necessary and sufficient conditions for such identifiability, i.e., the conditions under which the solutions can be uniquely determined up to the transformation group. Applying these results to BGPC, we derive sufficient conditions for unique recovery under several scenarios, including subspace, joint sparsity, and sparsity models. For BGPC with joint sparsity or sparsity constraints, we develop a procedure to compute the relevant transformation groups. We also give necessary conditions in the form of tight lower bounds on sample complexities, and demonstrate the tightness of these bounds by numerical experiments. The results for BGPC not only demonstrate the application of the proposed general framework for identifiability analysis, but are also of interest in their own right.

研究动机与目标

• 为双线性逆问题（BIPs）中的唯一性这一基本开放问题提供解决方案，BIPs通常因缩放和其他模糊性而病态。
• 形式化定义在变换群作用下的可辨识性，从而定义解的等价类。
• 推导在子空间与稀疏性约束下BIPs可辨识性的必要与充分条件。
• 将该框架应用于盲增益与相位校准（BGPC），这是一种在逆渲染、传感器阵列处理及多通道盲反卷积中出现的典型BIP。
• 在联合稀疏性与稀疏性模型下，建立BGPC的紧致样本复杂度下限，并通过数值实验验证其紧致性。

提出的方法

• 引入一种关于变换群的广义可辨识性概念，其中解仅在群作用下等价时才唯一。
• 定义与BIP相关联的变换群，并基于该群在解空间上的作用，推导可辨识性的必要与充分条件。
• 将该框架应用于BGPC，其测量模型为 $ Y = \mathrm{diag}(\lambda) \Phi $，其中 $ \lambda $ 为未知的增益与相位向量，$ \Phi $ 为信号矩阵。
• 针对联合稀疏性与稀疏性模型，提出一种基于信号支持结构计算相关变换群与等价类的程序。
• 通过索引集位移的组合与代数论证，推导出测量数（样本复杂度）的紧致下限作为必要条件。
• 利用图论与周期性分析，刻画可辨识性失效的情形，特别是当信号列的联合支持具有周期性时。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，双线性逆问题在变换群作用下具有唯一可辨识性？
• RQ2 如何系统性地计算在稀疏性与子空间约束下BIP所关联的变换群？
• RQ3 在联合稀疏性或稀疏性模型下，BGPC的最紧致样本复杂度下限是什么？
• RQ4 当信号的联合支持具有周期性时，可辨识性在何时失效，且如何通过代数方法刻画这一现象？
• RQ5 所提出的框架能否应用于真实世界的BIP，如逆渲染与多通道盲反卷积，并提供可证明的唯一性保证？

主要发现

• 本文建立了BIPs在变换群作用下可辨识性的必要与充分条件，为双线性系统中唯一性的分析提供了通用的理论基础。
• 对于具有联合稀疏性或稀疏性约束的BGPC，该框架首次给出了代数意义上的样本复杂度边界，且通过数值验证表明其紧致性。
• 当信号列的联合支持具有周期性时，可辨识性会失效，且这种失效发生在正测度集合上，表明周期性是主要障碍。
• 联合稀疏信号的变换群依赖于基的选择，本文提出了一种针对不同基计算该群的程序。
• 当联合支持为连续且非周期性时，位移后的索引集至少覆盖 $ n-1 $ 个索引，从而在适当条件下确保可辨识性。
• 该框架揭示，病态的不可辨识情形（如秩亏或周期性支持）仅存在于测度为零的集合中，表明在温和条件下，一般信号具有可辨识性。