[论文解读] A unified Framework for Robust Modelling of Financial Markets in discrete time

Jan Obłój, Johannes Wiesel|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用 6

一句话总结

本文建立了一套统一框架，证明了在离散时间下，路径依赖方法与准必然方法在鲁棒金融建模中的等价性。它表明，在温和的技术条件下，资产定价基本定理与对冲定理可在两种框架间相互转化，从而解决了长期以来在模型无关与鲁棒金融文献中两大主流方法之间的分歧。

ABSTRACT

We unify and establish equivalence between the pathwise and the quasi-sure approaches to robust modelling of financial markets in discrete time. In particular, we prove a Fundamental Theorem of Asset Pricing and a Superhedging Theorem, which encompass the formulations of [Bouchard, B., & Nutz, M. (2015). Arbitrage and duality in nondominated discrete-time models. The Annals of Applied Probability, 25(2), 823-859] and [Burzoni, M., Frittelli, M., Hou, Z., Maggis, M., & Obloj, J. (2019). Pointwise arbitrage pricing theory in discrete time. Mathematics of Operations Research]. In bringing the two streams of literature together, we also examine and relate their many different notions of arbitrage. We also clarify the relation between robust and classical $\mathbb{P}$-specific results. Furthermore, we prove when a superhedging property w.r.t. the set of martingale measures supported on a set of paths $Ω$ may be extended to a pathwise superhedging on $Ω$ without changing the superhedging price.

研究动机与目标

• 通过在离散时间下建立形式等价性，统一路径依赖与准必然两种主导鲁棒金融建模方法。
• 阐明路径依赖与准必然框架中不同套利概念之间的关系。
• 通过揭示经典鞅测度与鲁棒对冲价格之间的联系，弥合鲁棒（模型不确定）与经典（模型特定）结果之间的鸿沟。
• 证明在何种条件下，基于路径集 Ω 上的鞅测度的对冲价格可不改变价值地扩展为同一集合上的路径依赖对冲价格。

提出的方法

• 引入一种元结构，表明任何基于概率集 𝔓 的准必然结果，均可从选定情景集 Ω^𝔓 上的对应路径依赖结果推导得出。
• 构建从路径依赖情景集 Ω 到准必然概率集 𝔓^Ω 的对偶映射，使得路径依赖结果蕴含准必然结果。
• 利用 Jankov-von Neumann 选择定理，确保从解析测度集选取最优鞅测度时具有普遍可测性。
• 应用上半解析函数与右导数理论，在路径依赖设定中构造普遍可测的对冲策略。
• 采用预测集与条件对冲价格的概念，将局部鞅测度与全局对冲策略联系起来。
• 通过基于 ε-最优性与紧集 K_n 上收敛性的反证法，证明对冲价格的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在温和技术条件下，准必然框架下的资产定价基本定理是否可由路径依赖表述推导得出？
• RQ2 在何种条件下，基于路径集 Ω 上的鞅测度的对冲价格等于同一集合上的路径依赖对冲价格？
• RQ3 两种框架之间不同套利概念（如准必然下的无套利与路径依赖下的无套利）如何关联？
• RQ4 经典 P-特定结果在多大程度上可嵌入到鲁棒准必然或路径依赖框架中？
• RQ5 是否存在一种标准方法，通过局部条件期望在路径依赖设定中构造普遍可测的对冲策略？

主要发现

• 在温和技术假设下，资产定价基本定理在路径依赖与准必然框架中均成立。
• 对冲定理在两种框架中等价：基于路径集 Ω 上鞅测度的对冲价格等于该集合上的路径依赖对冲价格。
• Bouchard 与 Nutz (2015) 中的关键技术条件——乘积结构假设（APS），在路径依赖方法中自然地由情景集的解析性导出。
• 在路径依赖设定中，存在一个普遍可测的对冲策略，其构造为受扰动股票头寸下对冲价格右导数的逐点极限。
• 利用 Jankov-von Neumann 选择定理，可普遍可测地选取最优鞅测度集合。
• 对于任意非正可测头寸 g ∈ ℰ₀，存在一个鞅测度 ℚ，使得 ℰ_Q[g] = 0，这意味着无套利条件 NA(𝔓) 暗示在相关测度类下非正头寸的成本为零。