[论文解读] A unified integral equation scheme for doubly-periodic Laplace and Stokes boundary value problems in two dimensions

Alex H. Barnett, Gary R. Marple+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2016

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 55被引用 3

一句话总结

本文提出了一种光谱精度一致的积分方程方法，用于在二维中求解双周期性拉普拉斯和斯托克斯边值问题，通过使用小规模最小二乘求解来强制实现周期性，而无需显式计算周期格林函数。该方法将直接求和的近场像与一组少量辅助代理源结合，以表示远场贡献，从而实现条件良好、快速的迭代求解器，达到12位有效数字的精度，并可扩展至数千个包含物。

ABSTRACT

We present a spectrally-accurate scheme to turn a boundary integral formulation for an elliptic PDE on a single unit cell geometry into one for the fully periodic problem. Applications include computing the effective permeability of composite media (homogenization), and microfluidic chip design. Our basic idea is to exploit a small least squares solve to apply periodicity without ever handling periodic Green's functions. We exhibit fast solvers for the two-dimensional (2D) doubly-periodic Neumann Laplace problem (flow around insulators), and Stokes non-slip fluid flow problem, that for inclusions with smooth boundaries achieve 12-digit accuracy, and can handle thousands of inclusions per unit cell. We split the infinite sum over the lattice of images into a directly-summed "near" part plus a small number of auxiliary sources which represent the (smooth) remaining "far" contribution. Applying physical boundary conditions on the unit cell walls gives an expanded linear system, which, after a rank-1 or rank-3 correction and a Schur complement, leaves a well-conditioned square system which can be solved iteratively using fast multipole acceleration plus a low-rank term. We are rather explicit about the consistency and nullspaces of both the continuous and discretized problems. The scheme is simple (no lattice sums, Ewald methods, nor particle meshes are required), allows adaptivity, and is essentially dimension- and PDE-independent, so would generalize without fuss to 3D and to other non-oscillatory elliptic problems such as elastostatics. We incorporate recently developed spectral quadratures that accurately handle close-to-touching geometries. We include many numerical examples, and provide a software implementation.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒的、高阶的数值格式，用于求解二维双周期性拉普拉斯与斯托克斯方程控制的边值问题。
• 通过使用小规模最小二乘求解来强制实现周期性，避免使用格点求和、艾尔德方法或粒子网格的复杂性。
• 实现对具有数千个包含物和接近接触几何形状的复合材料与微流体系统的高精度模拟。
• 将该方法推广至其他非振荡椭圆型PDE，并以最小修改扩展至三维。
• 提供一种灵活、自适应且与维度无关的框架，兼容快速多极方法与谱积分法。

提出的方法

• 使用自由空间格林函数和包含物边界上的未知密度来表示解，避免使用周期格林函数。
• 将无限图像格点划分为直接求和的‘近场’部分和由M个辅助代理源建模的远场贡献。
• 在单位胞的壁面上施加物理边界条件，形成带有低秩修正的扩展线性系统。
• 利用舒尔补元与低秩扰动消去辅助未知量，得到条件良好的方阵系统。
• 采用快速多极加速与谱积分法，实现O(N)复杂度与高精度，即使在接近接触的包含物中亦成立。
• 对空边值问题系统施加秩-1或秩-3修正，以强制一致性并消除物理问题中的零空间问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在边界积分方程中强制实现周期边界条件，而无需显式计算周期格林函数？
• RQ2 在周期性问题中，无限图像格点的远场贡献应如何最优表示？
• RQ3 能否通过统一方案在双周期性二维几何中实现拉普拉斯与斯托克斯问题的光谱精度？
• RQ4 尽管物理边值问题中存在零空间问题，如何使所得线性系统条件良好并适用于快速迭代求解器？
• RQ5 当应用于具有高几何复杂度的数千个包含物时，该方法的可扩展性与精度极限是什么？

主要发现

• 该方法在光滑几何形状上对拉普拉斯与斯托克斯问题均实现了12位有效数字的精度，即使在接近接触的包含物中亦成立。
• 该方案成功处理了每单位胞含数千个包含物的随机复合材料中数百万个未知量的问题。
• 通过使用代理源与小规模最小二乘求解，避免了对格点求和、艾尔德方法或粒子网格的需求。
• 经过秩-1或秩-3修正后，所得线性系统条件良好，可结合FMM加速实现快速迭代求解。
• 该方法可自然推广至三维，并适用于其他非振荡椭圆型PDE（如弹性静力学），仅需极少修改。
• 数值实验验证了其在高体积分数与高长宽比单位胞等挑战性情形下的鲁棒收敛性与高精度。