[论文解读] A unified proof of conjectures on cycle lengths in graphs

Jun Gao, Qingyi Huo+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文通过一种新颖的基于路径的方法，统一证明了关于图中圈长的若干长期存在的猜想。通过建立在2-连通图中，两点间存在 $k$ 条可接受路径（长度构成公差为1或2的等差数列）的紧致最小度条件，作者推导出关于圈长模 $k$、连续圈长以及 $k$-连通或 $k$-色图中圈存在的最优结果。

ABSTRACT

In this paper, we prove a tight minimum degree condition in general graphs for the existence of paths between two given endpoints, whose lengths form a long arithmetic progression with common difference one or two. This allows us to obtain a number of exact and optimal results on cycle lengths in graphs of given minimum degree, connectivity or chromatic number. More precisely, we prove the following statements by a unified approach. (1) Every graph $G$ with minimum degree at least $k+1$ contains cycles of all even lengths modulo $k$; in addition, if $G$ is 2-connected and non-bipartite, then it contains cycles of all lengths modulo $k$. (2) For all $k\geq 3$, every $k$-connected graph contains a cycle of length zero modulo $k$. (3) Every 3-connected non-bipartite graph with minimum degree at least $k+1$ contains $k$ cycles of consecutive lengths. (4) Every graph with chromatic number at least $k+2$ contains $k$ cycles of consecutive lengths. The first statement is a conjecture of Thomassen, the second is a conjecture of Dean, the third is a tight answer to a question of Bondy and Vince, and the fourth is a conjecture of Sudakov and Verstraëte. All of the above results are best possible.

研究动机与目标

• 通过单一统一的框架解决图中圈长的多个猜想。
• 建立确保特定长度模式圈存在的紧致最小度与连通性条件。
• 证明 $k$-连通图包含长度模 $k$ 为0的圈，且 $k$-色图包含 $k$ 个连续的圈长。
• 提供最优结果，改进极值图论中关于圈分布的先前工作。

提出的方法

• 建立关于在2-连通图中，两点间存在 $k$ 条可接受路径（长度构成公差为1或2的等差数列）的核结果，其成立条件为最小度满足特定要求。
• 将路径结果应用于图的终块，通过路径与边组合形成圈，从而推导出一般图中的圈结果。
• 使用结构图论技术，包括连通性分析与子图排除（例如 $K_3$、$K_4^-$、$K_{d,d}^-$），在假设圈长不存在时导出矛盾。
• 利用关于2-连通根图与路径系的结果，构造出所需长度模 $d$ 的圈。
• 通过在连通性与奇偶性（$d$ 为奇数或偶数）上进行归纳与分类讨论，证明圈存在的定理。
• 利用关于子图中圈长分布的引理（例如，引理5.14：当围长 ≥5 时，圈长模5为0），以消除矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个最小度为 $k+1$ 的图是否都包含 $k$ 个连续长度的圈？
• RQ2 每个 $k$-连通的非二分图是否都包含长度模 $k$ 为0的圈？
• RQ3 每个最小度至少为 $k+1$ 的3-连通非二分图是否都包含 $k$ 个连续长度的圈？
• RQ4 每个色数为 $k+2$ 的图是否都包含 $k$ 个连续长度的圈？
• RQ5 确保圈长构成等差数列的最紧致最小度或连通性条件是什么？

主要发现

• 每个最小度至少为 $k+1$ 的图都包含所有模 $k$ 的偶数长度圈；若为2-连通且非二分图，则包含所有模 $k$ 的长度圈。
• 对所有 $k \geq 3$，每个 $k$-连通图都包含长度模 $k$ 为0的圈，且该条件为最优。
• 每个最小度至少为 $k+1$ 的3-连通非二分图都包含 $k$ 个连续长度的圈。
• 每个色数至少为 $k+2$ 的图都包含 $k$ 个连续长度的圈。
• 结果为最优：最小度与连通性条件无法再减弱，如 $K_{k+1}$ 和 $K_{k,n}$ 等极值构造所示。
• 该证明方法统一了多个猜想，包括Thomassen（关于模 $k$ 的偶数圈长）、Dean（$k$-连通蕴含圈长模 $k$ 为0）、Bondy-Vince（3-连通非二分图具有连续圈）、以及Sudakov-Verstra€te（色数蕴含连续圈）。