[论文解读] A unified, purely affine theory of gravitation and electromagnetism

Nikodem J. Popławski|ArXiv.org|May 2, 2007

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 5被引用 14

一句话总结

该论文通过将引力和电磁场的曲率张量几何化，提出了一种纯粹仿射的统一理论：对称的 Ricci 张量代表引力，第二个 Ricci 张量代表电磁场。关键结果是，带有源项的爱因斯坦方程和麦克斯韦方程可动态地从单一仿射拉格朗日量中导出，当物质拉格朗日量最简时，质量源于电磁能。

ABSTRACT

In the purely affine formulation of gravity, the gravitational field is represented by the symmetric part of the Ricci tensor of the affine connection. The classical electromagnetic field can be represented in this formulation by the second Ricci tensor of the connection. Such a construction is dynamically equivalent to the sourceless Einstein-Maxwell equations. We generalize this construction to the case with sources, represented by the derivative of the affine Lagrangian density with respect to the connection. We show that the Maxwell equations with sources emerge for the simplest affine Lagrangian for matter, while the Einstein and Lorentz equations arise if mass has electromagnetic origin. We also show that the Maxwell equations replace the unphysical constraint imposed by the projective invariance of purely affine Lagrangians that depend explicitly on the connection.

研究动机与目标

• 在不预先引入度规或规范结构的前提下，将经典引力与电磁场统一于纯粹仿射框架内。
• 通过将电磁场作为几何自由度引入，解决纯粹仿射拉格朗日量中由投影不变性带来的非物理约束。
• 表明当质量具有电磁起源时，爱因斯坦方程和洛伦兹方程可从最小仿射物质拉格朗日量中动态导出。
• 将无源的爱因斯坦-麦克斯韦等价性推广至存在物理源的情况。

提出的方法

• 该理论使用仅依赖于仿射联络及其曲率张量的纯粹仿射拉格朗日密度，特别是对称的 Ricci 张量 $ P_{\mu\nu} $ 和第二个 Ricci 张量 $ Q_{\mu\nu} $。
• 度规张量通过拉格朗日量对 $ P_{\mu\nu} $ 的泛函导数代数地导出，即 $ g^{\mu\nu} \propto \partial\mathcal{L}/\partial P_{\mu\nu} $，从而保证几何度规结构。
• 电磁场强度编码于 $ Q_{\mu\nu} $，其定义为联络迹的旋度，即 $ Q_{\mu\nu} = \Gamma^{\rho}_{\rho\nu,\mu} - \Gamma^{\rho}_{\rho\mu,\nu} $。
• 物质拉格朗日量被引入为联络和标量电荷密度 $ \rho $ 的泛函，结合物质分布的四维速度 $ u^\mu $，从而引入源项。
• 对总作用量关于联络进行变分，得到的场方程生成爱因斯坦张量和含源的麦克斯韦方程。
• 仿射拉格朗日量的投影不变性得以保持，但麦克斯韦方程取代了原本由源项引发的非物理约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不预先引入度规或规范场的前提下，于纯粹仿射理论中统一引力与电磁场？
• RQ2 在纯粹仿射形式中，源项如何动态产生？电磁场在消除非物理约束中扮演何种角色？
• RQ3 在此框架中，质量的几何起源是什么？能否证明其源于电磁能？
• RQ4 引入第二个 Ricci 张量 $ Q_{\mu\nu} $ 是否能在保持投影不变性的同时，实现物理源动力学的一致性？
• RQ5 当物质通过标量电荷密度和四维速度最小耦合时，能否从单一仿射作用量中导出爱因斯坦方程和洛伦兹方程？

主要发现

• 通过对接连接变分得到的场方程，爱因斯坦方程中包含电磁能动张量的项被动态导出。
• 当物质拉格朗日量包含标量电荷密度 $ \rho $ 和四维速度 $ u^\mu $ 时，含源的麦克斯韦方程被动态生成，从而产生电流 $ j^\mu \propto \rho u^\mu $。
• 有效能量密度 $ \epsilon \propto \rho^2 $ 和压强 $ p \propto \rho^2 u_\sigma u^\sigma $ 被导出，表明质量与电荷密度的平方成正比，暗示质量具有电磁起源。
• Bianchi 恒等式与场方程共同导出连续形式的洛伦兹力定律：$ ((\epsilon + p)u^\mu u^\nu)_{;\nu} - p^{,\mu} = F^{\mu\nu} j_\nu $，与粒子动力学一致。
• 代表电磁场的第二个 Ricci 张量 $ Q_{\mu\nu} $ 取代了投影不变性带来的非物理约束，同时保持规范不变性并允许物理源的存在。
• 在电荷密度趋于零的极限下，洛伦兹力消失，测地线方程被恢复，确认了在无电磁场时与广义相对论的一致性。