[论文解读] A Unified View of False Discovery Rate Control: Reconciliation of Bayesian and Frequentist Approaches

Xiaoquan Wen|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文在具有先验条件的两组模型下，建立了贝叶斯与频率学派错误发现率（FDR）控制之间的渐近等价性，表明两种方法在任意水平下均能实现一致的FDR控制。此外，本文进一步证明了严格的拟合后模型诊断对于稳健的贝叶斯FDR控制至关重要，并揭示在频率学派FDR控制中，对于非交换性假设，p值并非最优工具。

ABSTRACT

This paper explores the intrinsic connections between the Bayesian false discovery rate (FDR) control procedures and their counterpart of frequentist procedures. We attempt to offer a unified view of FDR control within and beyond the setting of testing exchangeable hypotheses. Under the standard two-groups model and the Oracle condition, we show that the Bayesian and the frequentist methods can achieve asymptotically equivalent FDR control at arbitrary levels. Built on this result, we further illustrate that rigorous post-fitting model diagnosis is necessary and effective to ensure robust FDR controls for parametric Bayesian approaches. Additionally, we show that the Bayesian FDR control approaches are coherent and naturally extended to the setting beyond testing exchangeable hypotheses. Particularly, we illustrate that $p$-values are no longer the natural statistical instruments for optimal frequentist FDR control in testing non-exchangeable hypotheses. Finally, we illustrate that simple numerical recipes motivated by our theoretical results can be effective in examining some key model assumptions commonly assumed in both Bayesian and frequentist procedures (e.g., zero assumption).

研究动机与目标

• 调和多重假设检验中贝叶斯与频率学派错误发现率（FDR）控制方法。
• 识别贝叶斯与频率学派FDR控制程序在何种条件下可实现渐近等价结果。
• 通过拟合后模型诊断，研究参数化贝叶斯FDR方法的稳健性。
• 将FDR控制扩展至非交换性假设，并评估在非交换性设定下p值的最优性。
• 为诊断贝叶斯与频率学派框架中关键模型假设（如零假设）开发数值方法。

提出的方法

• 使用已知零假设密度 $f_0$ 和未知备择假设密度 $f_1$ 的两组模型，假设检验统计量具有交换性。
• 通过后验概率（局部后验概率）定义贝叶斯FDR，通过p值定义频率学派FDR，并在 $\pi_0$ 的先验估计下比较其渐近行为。
• 利用 $\hat{u}_i = \mathbb{E}[\mathbf{1}\{\gamma_i=0\} \mid \hat{\pi}_0, z_i]$ 的顺序统计量定义贝叶斯FDR阈值。
• 通过概率极限与Helly-Bray定理，建立贝叶斯FDR估计向频率学派FDR估计的收敛性。
• 应用柯尔莫哥洛夫强大数定律，证明在有序统计量下BFDR几乎必然收敛于FDR。
• 推导贝叶斯因子与p值之间的单调变换，连接 $\hat{u}_{(i)}$ 与 $p_{(i)}$，从而实现渐近等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，贝叶斯与频率学派FDR控制程序可实现渐近等价的FDR控制？
• RQ2 如何通过拟合后模型诊断确保参数化贝叶斯FDR控制的稳健性？
• RQ3 在检验非交换性假设时，p值是否仍是频率学派FDR控制的最优工具？
• RQ4 贝叶斯FDR控制能否在非交换性假设检验设定下实现一致扩展？
• RQ5 哪些数值诊断方法可有效评估FDR程序中的核心假设（如零假设）？

主要发现

• 在两组模型和先验条件下，贝叶斯与频率学派FDR控制程序可在任意期望水平下实现渐近等价的FDR控制。
• 贝叶斯FDR估计 $\widehat{\text{BFDR}}(t_{b,i} = \hat{u}_{(i)}; \hat{\pi}_0)$ 对所有 $i$ 均以概率收敛于频率学派FDR估计 $\text{FDR}(t_{f,i} = p_{(i)}; \hat{\pi}_0)$。
• 当 $\hat{\pi}_0 \xrightarrow{p} \pi_0$ 时，贝叶斯FDR估计以概率收敛于阈值 $u^{*}_{(i)}$ 处的真实贝叶斯FDR。
• 拟合后模型诊断对于确保参数化贝叶斯FDR控制程序的稳健性而言，既必要又有效。
• 对于非交换性假设，p值不再是实现最优频率学派FDR控制的最优工具。
• 基于理论结果开发的数值诊断方法在诊断贝叶斯与频率学派FDR框架中的关键假设（如零假设）方面均具有效性。