[论文解读] A uniform open image theorem for l-adic representations in positive characteristic

Emiliano Ambrosi|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

本论文在正特征下建立了 $α$-adic 表示的统一开像定理，证明在几何李群完美条件下，局部图像非开的 $k$-有理点的例外集是有限的，且指标 $[\Pi : \Pi_x]$ 一致有界。该结果通过广义模曲线和利用 $\ell$-adic 上同调控制的野性分歧，将 Cadoret-Tamagawa 在特征 0 下的结果推广至正特征。

ABSTRACT

Let $k$ be a finitely generated field of characteristic $p > 0$ and $\\ell$ a prime. Let $X$ be a smooth, separated, geometrically connected curve of finite type over $k$ and $\ ho: \\pi_1(X)\ ightarrow GL_r(\\mathbb Z_{\\ell})$ a continuous representation of the \\etale fundamental group of $X$ with image $G$. Any $k$-rational point $x:Spec(k)\ ightarrow X$ induces a local representation $\ ho_x: \\pi_1(Spec(k)) \ ightarrow \\pi_1(X) \ ightarrow GL_r(\\mathbb Z_{\\ell})$ with image $G_x$. The goal of this paper is to study how $G_x$ varies with $x\\in X(k)$. In particular we prove that if $\\ell\ eq p$ and every open subgroup of $\ ho(\\pi_1(X_{\\overline k}))$ has finite abelianization, then the set $X_{\ ho}^{ex}(k)$ of $k$-rational points such that $G_x$ is not open in $G$ is finite and there exists a constant $C\\geq 0$ such that $[G:G_x]\\leq C$ for all $x\\in X(k)-X_{\ ho}^{ex}(k)$. This result can be applied to obtain uniform bounds for the $\\ell$-primary torsion of groups theoretic invariants in one dimensional families of varieties. For example, torsion of abelian varieties and the Galois invariants of the geometric Brauer group. This extends to positive characteristic previous results of Anna Cadoret and Akio Tamagawa in characteristic 0.

研究动机与目标

• 将 Cadoret-Tamagawa 在特征 0 下的统一开像定理推广至正特征。
• 建立局部伽罗瓦像非开的 $k$-有理点的指标 $[\Pi : \Pi_x]$ 的有限性与一致有界性。
• 控制正特征下抽象模曲线的 Riemann-Hurwitz 公式中的野性挠率项。
• 推广亏格的概念，引入同构亏格作为工具，以在正特征下控制有界次数点的数量。

提出的方法

• 构造与开子群 $U \subseteq \Pi$ 关联的连通平展覆盖 $X_U \to X$，称为抽象模概形。
• 利用范畴论字典，将 $k$-有理点在 $X_U$ 上的提升与 $\Pi_x \subseteq U$ 关联，实现丢番图控制。
• 应用 Riemann-Hurwitz 公式计算抽象模曲线的亏格，对正特征下的野性挠率项进行细致处理。
• 将 [CT12a] 中的技术推广，以控制亏格计算中的野性分歧。
• 利用紧化覆盖的亏格与同构亏格的增长，控制有界次数点的数量。
• 利用 $\Pi_{\overline{k}}$ 的李群完美条件，确保指标 $[\Pi : \Pi_x]$ 的一致有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $\ell$-adic 表示的统一开像定理从特征 0 推广至正特征？
• RQ2 在正特征下，局部图像非开的 $k$-有理点集在何种条件下是有限的？
• RQ3 在正特征下的模曲线构造中，如何控制 Riemann-Hurwitz 公式中的野性分歧？
• RQ4 同构亏格能否替代亏格，作为控制正特征下有界次数点数量的工具？
• RQ5 在几何李群完美条件下，当 $n \to \infty$ 时，紧化覆盖 $X_{C\Pi_{\overline{k}}(n)}$ 的同构亏格是否无界？

主要发现

• 当 $X$ 为曲线，$k$ 为有限生成域，且 $\rho$ 为几何李群完美时，例外集 $X_{\rho}^{ex}(k)$ 是有限的。
• 存在整数 $N \geq 1$，仅依赖于 $\rho$，使得对所有 $x \in X_{\rho}^{gen}(k)$，有 $[\Pi : \Pi_x] \leq N$。
• 抽象模曲线 $X_U$ 的亏格随层级增长，从而可通过丢番图有限性控制有理点。
• Riemann-Hurwitz 公式中的野性挠率项通过 [CT12a] 技术的推广得到控制。
• 同构亏格 $\gamma^{\text{iso}}_{X_{C\Pi_{\overline{k}}(n)}}$ 随 $n \to \infty$ 趋于无穷，提示可能将结果推广至有界次数点。
• 该结果意味着在几何 Brauer 群与一维族中阿贝尔簇等不变量的 $\ell$-主 torsion 上存在一致有界性。