[论文解读] A unifying approach to branching processes in varying environments

Götz Kersting|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文提出了一种在变化环境中分支过程（BPVEs）的统一框架，建立了几乎必然灭绝、鞅的平方可积性以及Yaglom型收敛到指数极限分布的一般准则。在后代分布的二阶矩具有轻微一致性条件的前提下，作者将BPVEs分类为临界、超临界和亚临界三种情形，以最少的假设统一并拓展了文献中已有的结果。

ABSTRACT

Branching processes $(Z_n)_{n \ge 0}$ in a varying environment generalize the Galton-Watson process, in that they allow time-dependence of the offspring distribution. Our main results concern general criteria for a.s. extinction, square-integrability of the martingale $(Z_n/\mathbf E[Z_n])_{n \ge 0}$, properties of the martingale limit $W$ and a Yaglom type result stating convergence to an exponential limit distribution of the suitably normalized population size $Z_n$, conditioned on the event $Z_n >0$. The theorems generalize/unify diverse results from the literature and lead to a classification of the processes.

研究动机与目标

• 统一并推广现有关于变化环境中分支过程（BPVEs）的结果，后者允许后代分布随时间变化。
• 建立几乎必然灭绝、归一化种群大小鞅的平方可积性，以及种群大小在非灭绝条件下收敛于分布的一般准则。
• 使用一组统一的条件，将BPVEs分类为临界、超临界和亚临界三种情形。
• 识别出一个温和的正则性条件——相对于均值的二阶阶乘矩的一致性——该条件可确保典型且非奇异的行为，排除病态的生长或灭绝模式。

提出的方法

• 引入一个正则性条件（A），要求后代分布的二阶阶乘矩相对于均值与至少有一个后代的概率的乘积是一致有界的。
• 使用生成函数和递归矩分析方法，刻画各代中种群大小 $ Z_n $ 的均值和二阶阶乘矩。
• 应用鞅收敛理论和拉普拉斯变换技术，分析 $ Z_n $ 在非灭绝条件下的极限行为。
• 建立 $ \mathbf{E}[Z_n \mid Z_n > 0] $ 收敛与级数 $ \sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1} $ 发散之间的等价性，其中 $ \nu_k $ 是时间 $ k $ 处后代分布的归一化二阶阶乘矩，$ \mu_k $ 是后代数的均值。
• 利用生成函数的渐近展开和指数矩估计，推导出Yaglom型极限定理，表明在适当的归一化下 $ Z_n / b_n $ 依分布收敛于指数分布。
• 证明在临界情形下，存活概率 $ \mathbf{P}(Z_n > 0) $ 渐近等价于 $ \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1} $，从而将存活概率与后代分布的累积方差联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，变化环境中的分支过程会以概率1灭绝？
• RQ2 何时归一化种群大小 $ Z_n / \mathbf{E}[Z_n] $ 是平方可积鞅，其极限具有何种性质？
• RQ3 在适当的归一化下，种群大小 $ Z_n $ 在非灭绝条件下的分布何时收敛于指数分布？
• RQ4 如何通过矩条件统一刻画BPVEs的临界、超临界和亚临界三种情形？
• RQ5 何种正则性条件可确保BPVEs不表现出奇异或非典型行为（如多重增长速率或渐近退化）？

主要发现

• 在变化环境中的分支过程以概率1收敛于 $ \mathbb{N}_0 \cup \{\infty\} $ 中的极限，且灭绝发生当且仅当期望种群大小 $ \mathbf{E}[Z_n] \to 0 $。
• 鞅 $ Z_n / \mathbf{E}[Z_n] $ 是平方可积的，当且仅当级数 $ \sum_{k=1}^\infty \nu_k / \mu_{k-1} $ 收敛，其中 $ \nu_k $ 是时间 $ k $ 处后代分布的归一化二阶阶乘矩。
• 在临界情形下，即 $ \sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1} \to \infty $ 且 $ 1/\mu_n = o(\sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1}) $，归一化种群大小 $ Z_n / b_n $，其中 $ b_n = \frac{\mu_n}{2} \sum_{k=1}^n \frac{\nu_k}{\mu_{k-1}} $，依分布收敛于均值为1的指数随机变量。
• 在临界情形下，存活概率满足 $ \mathbf{P}(Z_n > 0) \sim \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \frac{\nu_k}{\mu_{k-1}} $，将存活概率与后代分布的累积方差联系起来。
• 正则性条件（A）——即二阶阶乘矩相对于均值和存活概率的一致有界性——对所有标准分布（泊松、二项、几何分布等）均成立，且可确保典型行为，避免奇异现象。
• BPVEs的临界、超临界和亚临界分类通过 $ \mu_n $ 和 $ \sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1} $ 的行为统一刻画：临界情形由级数发散且 $ \mu_n \to \infty $ 特征化；而亚临界性等价于 $ \liminf_n \mu_n \sum_{k=1}^n \nu_k / \mu_{k-1} < \infty $。