[论文解读] A unifying perspective on linear continuum equations prevalent in science. Part IV: Canonical forms for equations involving higher order gradients

Graeme W. Milton|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 56被引用 5

一句话总结

本文提出了一种统一的数学框架，用于处理涉及高阶梯度的线性连续体方程，通过借鉴扩展复合材料理论的规范形式表达。该框架使复合材料理论能够应用于多种物理系统，借助投影算子和广义本构关系揭示非局域性和高阶效应。

ABSTRACT

Enlarging on Parts I, II, and III we write more equations in the desired format of the extended abstract theory of composites. We focus on a multitude of equations involving higher order derivatives. The motivation is that results and methods in the theory of composites then extend to these equations.

研究动机与目标

• 将线性连续体方程的统一表述扩展至包含高阶空间和时间梯度。
• 通过将高阶多极源（如偶极子、四极子）嵌入一致的数学结构中，解决传统表述的局限性。
• 使复合材料理论——此前仅限于二阶系统——能够应用于高阶梯度系统。
• 阐明非局域表述中的非唯一性和冗余性，特别是人工场（如自应变）的冗余性。
• 建立一种规范形式，揭示涉及高阶导数的方程中内在的耦合关系与对称性。

提出的方法

• 在傅里叶空间中，将方程表述为规范形式 $\mathbf{J}(\mathbf{x}) = \mathbf{L}(\mathbf{x})\mathbf{E}(\mathbf{x}) - \mathbf{s}(\mathbf{x})$，并引入投影算子 $\boldsymbol{\Gamma}_1$ 和 $\boldsymbol{\Gamma}_2 = \mathbf{I} - \boldsymbol{\Gamma}_1$。
• 通过球对称多极展开引入高阶多极源，其中 $\mathbf{d}_T = \mathbf{d} - \nabla\cdot\mathbf{q} + \nabla\cdot\nabla\cdot\mathbf{h} + \cdots$ 表示总有效源。
• 使用广义本构关系，如 $\begin{pmatrix}\mathbf{d}'\\ \mathbf{q}\end{pmatrix} = \mathbf{L}\begin{pmatrix}\nabla V\\ \nabla\nabla V\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \mathbf{s}\\ 0 \end{pmatrix}$，以模拟高阶响应。
• 应用投影算子 $\boldsymbol{\Gamma}_1$ 以施加约束，如 $\boldsymbol{\Gamma}_1\mathbf{E} = \mathbf{E}$ 和 $\boldsymbol{\Gamma}_1\mathbf{J} = 0$，确保与物理守恒定律的一致性。
• 通过卷积算子分析非局域响应，如 $\mathbf{G}_f * (\mathbf{u} - \mathbf{u}_0) = \mathbf{f}$，以宏观场与微观源之间的关系。
• 证明人工场（如自应变 $\boldsymbol{\epsilon}_0$）是冗余且物理上不可访问的，主张以直接的源-场关系取代之。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单一数学框架下系统统一连续体方程中的高阶梯度项？
• RQ2 多极源（偶极子、四极子、六极子）在将经典场方程扩展至单极源之外的作用是什么？
• RQ3 投影算子 $\boldsymbol{\Gamma}_1$ 和 $\boldsymbol{\Gamma}_2$ 如何在规范表述中确保一致性和正交性？
• RQ4 为何非局域表述中的人工场（如自应变）在物理上是冗余且实验上不可访问的？
• RQ5 扩展的复合材料理论在多高阶系统（如具有高阶梯度的弹性动力学）中的适用范围有多大？

主要发现

• 规范形式 $\mathbf{J} = \mathbf{L}\mathbf{E} - \mathbf{s}$ 搭配投影算子 $\boldsymbol{\Gamma}_1$ 和 $\boldsymbol{\Gamma}_2$，成功统一了电磁学、弹性力学及其他领域中涉及高阶梯度的方程。
• 高阶多极源（如 $\mathbf{d}$、$\mathbf{q}$ 和 $\mathbf{h}$）可系统地整合到源项 $\mathbf{s}$ 中，从而实现对偶极子、四极子及更高阶响应的统一处理。
• 投影算子 $\boldsymbol{\Gamma}_1 = \frac{1}{k^2 + k^4} \begin{pmatrix} \mathbf{k}\otimes\mathbf{k} & -i\mathbf{k}\otimes\mathbf{k}\otimes\mathbf{k} \\ i\mathbf{k}\otimes\mathbf{k}\otimes\mathbf{k} & \mathbf{k}\otimes\mathbf{k}\otimes\mathbf{k}\otimes\mathbf{k} \end{pmatrix}$ 确保了傅里叶空间中的自伴性和正交性。
• 非局域表述（如 Willis理论）被证明等价于宏观场与源之间的直接关系，其中人工自应变场 $\boldsymbol{\epsilon}_0$ 在物理上是冗余且实验上不可访问的。
• 该框架表明，高阶梯度系统可被简化为非局域算子，如 $\mathbf{G}_f * (\mathbf{u} - \mathbf{u}_0) = \mathbf{f}$，该算子将位移或势与外力或源联系起来。
• 本文结论指出，尽管高阶与非局域表述在数学上等价，但引入人工场会掩盖物理解释，因此主张消除人工场，转而采用直接且具有物理意义的源-场耦合关系。