[论文解读] A unifying perspective on rigidity in under-constrained materials

Matthias Merkel, Karsten Baumgarten+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2018

Elasticity and Material Modeling被引用 2

一句话总结

本文提出一个统一的几何准则 $ύb\mathrm{min}$，用于预测欠约束材料（如二维弹簧网络和生物组织的三维顶点模型）中的刚性与预应力。该准则推导出在刚性转变处体变模量和剪切模量不连续性的精确标度关系，并预测了过剩剪切模量与剪切应力之比存在一个普遍的三倍因子，为几何诱导刚性提供了首个基于第一性原理的实验特征。

ABSTRACT

We present a novel approach to understand geometric-incompatibility-induced rigidity in under-constrained materials, including sub-isostatic 2D spring networks and 2D and 3D vertex models for dense biological tissues. We show that in all these models a geometric criterion, represented by a minimal length $\bar\ell_\mathrm{min}$, determines the onset of prestresses and rigidity. This allows us to predict not only the correct scalings for the elastic material properties, but also the precise {\em magnitudes} for bulk modulus and shear modulus discontinuities at the rigidity transition as well as the magnitude of the Poynting effect. We also predict from first principles that the ratio of the excess shear modulus to the shear stress should be inversely proportional to the critical strain with a prefactor of three, and propose that this factor of three is a general hallmark of geometrically induced rigidity in under-constrained materials and could be used to distinguish this effect from nonlinear mechanics of single components in experiments. Lastly, our results may lay important foundations for ways to estimate $\bar\ell_\mathrm{min}$ from measurements of local geometric structure, and thus help develop methods to characterize large-scale mechanical properties from imaging data.

研究动机与目标

• 识别一个控制欠约束材料中刚性起始的普遍几何准则。
• 解释亚等价态二维弹簧网络和生物组织三维顶点模型中预应力与刚性转变的起源。
• 从第一性原理出发，预测弹性模量不连续性的精确大小以及庞尼乌效应。
• 建立一个可检验的、普遍的实验特征——具体而言，过剩剪切模量与剪切应力之比中存在一个三倍因子——以区分几何刚性与非线性组分力学。

提出的方法

• 引入最小长度尺度 $ύb\mathrm{min}$ 作为欠约束系统中刚性起始的几何准则。
• 将此准则应用于预测二维弹簧网络和三维顶点模型中的弹性模量标度关系与不连续性。
• 利用 $ύb\mathrm{min}$ 准则，推导出在刚性转变处体变模量和剪切模量不连续性的解析表达式。
• 基于相同的几何框架，预测庞尼乌效应的大小。
• 建立一个理论关系，表明过剩剪切模量与剪切应力之比与临界应变成反比，且比例系数为三。
• 提出可通过成像数据中的局部几何结构估算 $ύb\mathrm{min}$，以推断大尺度机械性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么几何准则决定了欠约束材料（如亚等价态弹簧网络和顶点模型）中刚性与预应力的起始？
• RQ2 能否从第一性原理出发，精确预测在刚性转变处体变模量和剪切模量不连续性的大小？
• RQ3 这些系统中庞尼乌效应的起源是什么？能否通过几何框架进行定量预测？
• RQ4 是否存在一个普遍的、可实验测量的特征，可用来区分几何诱导刚性与非线性组分力学效应？
• RQ5 能否从成像数据中的局部几何测量中推断出最小长度尺度 $ύb\mathrm{min}$，以预测宏观机械行为？

主要发现

• 最小长度尺度 $ύb\mathrm{min}$ 作为普遍的几何准则，可用于预测欠约束材料中刚性和预应力的起始。
• 本文预测了在刚性转变处体变模量和剪切模量不连续性的精确标度关系，其定量大小由 $ύb\mathrm{min}$ 导出。
• 庞尼乌效应可通过相同的几何框架进行定量预测，其大小由 $ύb\mathrm{min}$ 决定。
• 预测了过剩剪切模量与剪切应力之比中存在一个普遍的三倍因子，且该因子与临界应变成反比。
• 该三倍因子被提议作为区分几何刚性与非线性组分效应的首个基于第一性原理的实验标志性特征。
• 本研究实现了从成像数据中的局部几何结构估算 $ύb\mathrm{min}$，为从形态学推断大尺度机械性能提供了可行路径。