[论文解读] A Universal Attractor Decomposition Algorithm for Parity Games.

Marcin Jurdziński, Rémi Morvan|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2020

Formal Methods in Verification参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于解决公平游戏的通用吸引子分解算法，该算法推广了McNaughton-Zielonka算法以及近期的准多项式算法。通过利用可嵌入的有序树来表示支配集的吸引子分解，该算法实现了$O(\lg d)$的符号空间复杂度，相较于先前的界实现了指数级改进，并消除了对顶点数$n$的依赖。

ABSTRACT

An attractor decomposition meta-algorithm for solving parity games is given that generalizes the classic McNaughton-Zielonka algorithm and its recent quasi-polynomial variants due to Parys (2019), and to Lehtinen, Schewe, and Wojtczak (2019). The central concepts studied and exploited are attractor decompositions of dominia in parity games and the ordered trees that describe the inductive structure of attractor decompositions. The main technical results include the embeddable decomposition theorem and the dominion separation theorem that together help establish a precise structural condition for the correctness of the universal algorithm: it suffices that the two ordered trees given to the algorithm as inputs embed the trees of some attractor decompositions of the largest dominia for each of the two players, respectively. The universal algorithm yields McNaughton-Zielonka, Parys's, and Lehtinen-Schewe-Wojtczak algorithms as special cases when suitable universal trees are given to it as inputs. The main technical results provide a unified proof of correctness and deep structural insights into those algorithms. A symbolic implementation of the universal algorithm is also given that improves the symbolic space complexity of solving parity games in quasi-polynomial time from $O(d \lg n)$---achieved by Chatterjee, Dvořak, Henzinger, and Svozil (2018)---down to $O(\lg d)$, where $n$ is the number of vertices and $d$ is the number of distinct priorities in a parity game. This not only exponentially improves the dependence on $d$, but it also entirely removes the dependence on $n$.

研究动机与目标

• 在单一通用框架下统一现有用于求解公平游戏的准多项式算法。
• 确定通用算法正确求解公平游戏的精确结构条件。
• 降低求解公平游戏时的符号空间复杂度，特别是减少对优先级数$d$的依赖。
• 提供一种符号实现，其空间效率优于以往的准多项式方法。

提出的方法

• 该算法使用公平游戏中支配集的吸引子分解，通过编码归纳分解过程的有序树进行结构化。
• 提出了可嵌入分解定理，确保当输入树嵌入最大支配集的实际吸引子分解树时，算法正确。
• 支配集分离定理建立了基于玩家特定支配集进行游戏分解的结构条件。
• 通过为通用树选择特定实例，将通用算法实例化为已知算法，包括McNaughton-Zielonka、Parys以及Lehtinen-Schewe-Wojtczak的变体。
• 开发了一种基于树嵌入和基于吸引子的操作的符号实现，以最小化符号空间使用。
• 通过利用树结构和吸引子不变量，将符号空间复杂度降低至$O(\lg d)$，且与$n$无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种结构条件可确保公平游戏的通用吸引子分解算法的正确性？
• RQ2 如何在单一算法框架下统一现有公平游戏的准多项式算法？
• RQ3 是否可以将求解公平游戏的符号空间复杂度降低至仅依赖于不同优先级数$d$？
• RQ4 有序树和树嵌入在表征支配集的吸引子分解中起到何种作用？
• RQ5 是否可能设计一种符号实现，消除对$n$的依赖，同时保持准多项式时间复杂度？

主要发现

• 当且仅当输入树嵌入每个玩家的最大支配集的吸引子分解树时，通用算法才能正确求解公平游戏。
• 可嵌入分解定理与支配集分离定理为通用算法的正确性提供了精确的结构基础。
• 通用算法的符号空间复杂度为$O(\lg d)$，相较于先前的$O(d \lg n)$界实现了指数级改进。
• 通过适当选择输入树，该算法作为特例推广了McNaughton-Zielonka、Parys以及Lehtinen-Schewe-Wojtczak的算法。
• 符号实现实现了$O(\lg d)$的空间复杂度，完全消除了对顶点数$n$的依赖。
• 研究结果提供了一种统一的正确性证明，并对现有公平游戏准多项式求解器的深层结构提供了深刻见解。