[论文解读] A Universal Scheme for Transforming Binary Algorithms to Generate Random Bits from Loaded Dice

Hongchao Zhou, Jehoshua Bruck|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2012

Cellular Automata and Applications参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文提出一个通用框架，可将任何专为有偏硬币设计的二元算法，转化为从加载骰子（m面源）生成无偏随机位的机制。通过从骰子掷出结果构建二值化树，并对树中每条路径应用该算法，该方法确保输出序列独立且无偏，将现有的基于硬币的方案（如Elias和Peres）推广至任意字母表，且信息效率最优。

ABSTRACT

In this paper, we present a universal scheme for transforming an arbitrary algorithm for biased 2-face coins to generate random bits from the general source of an m-sided die, hence enabling the application of existing algorithms to general sources. In addition, we study approaches of efficiently generating a prescribed number of random bits from an arbitrary biased coin. This contrasts with most existing works, which typically assume that the number of coin tosses is fixed, and they generate a variable number of random bits.

研究动机与目标

• 将现有的有偏硬币二元算法推广至适用于m面加载骰子。
• 使知名最优算法（如Elias、Peres）可应用于超越二元硬币的通用信源模型。
• 填补从有偏信源高效生成固定长度输出随机位的空白。
• 提供一种系统性方法，确保输出位的统计独立性与均匀性。

提出的方法

• 从骰子掷出序列构建二值化树，其中每个节点对应骰子面二进制表示的前缀。
• 根据从根到叶的路径上骰子掷出结果的二进制编码比特，为每个节点分配二进制序列（H/T）。
• 对每个节点的二进制序列应用任意固定输入、固定输出的二元算法Ψ（如Elias或Peres），以生成随机位。
• 将所有节点的输出连接起来，形成最终的无偏随机位流。
• 证明即使输入序列存在相关性，所得序列仍为独立且均匀分布。
• 使用前缀无关且完备的路径字典，以确保唯一解码并避免歧义。

实验结果

研究问题

• RQ1 现有的有偏硬币最优二元算法能否推广至适用于m面加载骰子？
• RQ2 如何通过最少的骰子掷出次数，高效地从有偏骰子生成固定数量的随机位？
• RQ3 二值化树中多个相关路径的输出串联是否能保持统计独立性与均匀性？
• RQ4 二值化树的何种结构特性可确保正确且无偏的位生成？

主要发现

• 所提出的通用方案成功将任意二元算法Ψ转换为从m面骰子生成独立且无偏随机位的方法。
• 该方法在每骰子掷出的期望输出位数方面达到信息论最优，与信源熵一致。
• 二值化树的构建确保了可从生成的二进制路径唯一重构原始骰子序列。
• 即使不同节点的输入序列存在随机依赖，该方案仍保持Ψ的统计特性。
• 该方法将von Neumann、Elias和Peres的算法推广至任意字母表，使其可应用于加载骰子。
• 该方法支持以最少骰子掷出次数高效生成指定数量的随机位，达到信息论效率的上限。